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1. 研究目的与意义及国内外研究现状

初等函数是数学界的基石，许多高楼大厦都建立在这一块块的砖上.然而有很多函数包括很多重要函数并不能用初等函数的方式表达出来，而且都具有的及其重要的意义与作用.这就体现了变限函数的作用了，它不仅可以表示很多函数，而且其本身就是对于函数的一种很重要的补充.那么对于其性质与应用的研究就不可或缺，也会对于其他科学研究有着极其重要的作用.

国内外研究现状

变限函数在很多方面都有着极其重要的作用，但是在国内很多教材上并未对这一内容进行深入的探讨研究，反而是一带而过，这十分不利于学生对这一概念的理解，同时，对于函数与积分的理解也会有所欠缺，不利于学生进行全面的学习研究.而由于变限积分函数是国内研究生入学考试以及各大数学竞赛的常客，还是有很多学者对这一内容进行了深刻的研究与分析.鲁洁（见[5]）分别从几何上与分析上引入了积分变限函数.从分析上看，积分变上限函数就是由于因变量变化而导致的曲边梯形的面积变化的一个函数；从分析上看，变限积分函数的导数就是被积函数的原函数的导数，即被积函数本身。这两种方法使得学生对于变限函数既有了直观的形象，又有了深入的理解.

邹泽民（1997）（见[6]）从两类积分变限函数出发，系统研究其分析性质——连续性、可导性、可积性及单调性，并给出了相关定理、推论及其应用，做出了 一个深度的剖析.

王国强（2005）（见[8]）首先给变限积分做了一个简单的介绍，给出了相应的定理与性质，然后从多角度并运用实例给变限积分的应用作了一个详细而又具体的阐述 。分析了确定变限积分无穷小的阶的情况、利用变限函数证明函数不等式的情况、探究函数零点存在性问题，给出了变限函数的实际运用情况.

2. 研究的基本内容

变限函数的性质：

连续性、可导性、奇偶性、单调性和周期性.

3. 实施方案、进度安排及预期效果

寒假期间阅读相应的文献材料，从变限函数的引入出发，了解其产生的原因，学者们对其剖析的原因，研究其各种各样的性质，并在此基础上探究其在各方面的实际应用.大四开学后，归纳整理这一有趣的函数的性质与应用，在指导老师的指导下，进行相关内容的调整与分析.

预计可以较完整地得到变限函数的性质与应用，可以对于变限函数做一个简单而又深刻的描述，从而可以进一步加深对这一形象的理解，有助于以后的学习与发展.

4. 参考文献

[1]邵俊倩，张铭峰，董雪. 变限函数的有关性质及应用[j].晋中学院学报，2011，28(3)：23-26.

[2]黄萱平.变限函数探究[j].湖南冶金职业技术学院学报，2007，7(2)：43-47.

[3]王远民，田卫章，梁俊奇.变限积分函数的性质[j]. 商丘职业技术学院学报，2010，9（47）：10-11.