全文总字数：3402字

1. 研究目的与意义及国内外研究现状

在现实生活中，量之间存在着相等关系或者不等关系，量之间大小的比较为现实所必需，这导致数学不等式的产生和发展。而在本科阶段中，高等数学中有一些常见的不等式，这些不等式的重要应用已贯穿于当代科学技术和工程领域的多个学科分支，它是学习和研究现代科学和技术的一个基本工具。由于不等式的形式各异，所以证明方法也灵活且多变。而在大学阶段学习到的一些常用不等式分布较散且不同的形式可能出现在不同的课程当中，即“哪里有不平哪里就有我”，看似这些不等式之间毫无联系，而本文也力图去发现并建立这些不等式之间的联系。本文主要讨论本科课程中的一些常用不等式:Holder不等式,Minkowski不等式,Jensen不等式,均值不等式和含有sinx的函数不等式。这些不等式出现在数学分析中的不同章节，本文通过利用Jensen不等式证明出Holder不等式,Minkowski不等式，均值不等式和含有sinx的函数不等式，建立起这些不等式的联系。

国内外研究现状

数学不等式理论发展史上有两个具有分水岭意义的事件：Chebycheff在1882年发表的论文提出了著名的Chebycheff不等式和1928年Hardy任伦敦数学会主席届满时的演讲，前者极大推动了概率统计的发展，自从著名数学家G. H. Hardy, J.E.Littlewood和 G.Polya的著作《Inequalities》于1934年出版以来,数学不等式理论及其应用的研究正式进入数学研究领域,成为一门新兴的数学学科，因而成系统地被广大数学家所研究，由此诞生了很多被广泛应用与数学各分支的重要不等式.由于不等式对很多数学分支的研究和发展提供了便利的工具，在数学各领域均出现了很多形状各异的各类不等式.现在我们熟知的很多重要不等式均是以国外数学家命名的，由此可见在很多年前，不等式的研究主要集中在国外的，他们代表着不等式研究的领先水平.自20世纪尤其是80年代以后，我们国家的数学家也开始活跃在不等式的研究领域.前期我国老一辈著名数学家华罗庚，徐利治等人在不等式领域就做出过重要的贡献.后来杨路等数学家在几何不等式的研究上做出了一系列开创性的工作.王挽澜教授在代数不等式方面的研究达到了国际领先水平.当代，我国仍有很多数学家对许多重要不等式进行重要的推广，使之能应用于更广泛的领域中去.由此可见不等式对数学研究的重要性.

2. 研究的基本内容

不等式种类很多，鉴于我们的学识不可能面面俱到。本文将着重讨论Jensen不等式及其应用. 通过查找文献，给出凸函数与Jensen不等式的定义。 除此之外，给出Jensen不等式的应用：本文利用Jensen不等式证明出Holder不等式, Minkowski不等式，均值不等式和含有sinx的函数不等式。 本文我们研究以下内容：第一要点，我们查阅资料给出一元凸函数的定义及一些判别方法和Jensen不等式的基本形式与一些推广形式，并将Jensen不等式推广至凸域上n元凸函数上。第二要点，我们研究Jensen不等式的应用有如下几点：第一，利用Jensen不等式证明了Holder不等式的离散形式，并给出Holder不等式的概率形式和积分形式及应用。第二，我们利用Jensen不等式证明了Minkowski不等式的离散形式，其实是利用Jensen不等式证明Holder不等式，进一步由由Holder不等式证明了Minkowski不等式的离散形式，并给出其积分形式并且将其离散形式推广至n元。第三，利用Jensen不等式证明了均值不等式与含有sinx的函数不等式，给出了当n=2时均值不等式一个有趣的加细并进行了更加简洁的证明，给出了含有sinx的函数不等式一种加细的更为简洁的证明。

3. 实施方案、进度安排及预期效果

实施方案：首先与指导老师探讨所研究对象，并确定论文题目。接着，收集资料：通过查阅图书馆以及知网的相关资料，收集相关研究领域的参考文献。对所研究的对象罗列一个大致的提纲，分部分去研讨。然后，仔细研讨常见不等式的各种形式及其证明方法，同时探究这些不等式在数学发展中的重要作用，并查阅文献收集给出这些不等式的应用，对该课题有较全面、较深刻的认识。最后，积极与指导老师和同学互相沟通，互相帮助，对过程中存在的问题积极咨询老师，反复推敲，深入研究，归纳总结。

进度安排：2018年1-2月 收集相关资料，查阅文献，深入分析问题，明确研究内容以及研究方法。

4. 参考文献

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