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摘 要

无约束优化如今已渗透到社会生活中的多个领域，许多理论与实践问题都可以通过转变为无约束优化问题来处理，关于无约束优化问题的研讨对当今社会来讲非常重要。传统的信赖域算法在大部分情况下是依据经验来确定信赖域的半径,因为根据经验会导致信赖域半径的选取有一定的盲目性，所以自适应技术应运而生。本文提出一个新的自适应信赖域方法，和传统的信赖域方法相比，该方法通过计算实际下降量与预估下降量比值的线性函数对信赖域半径进行修正，从而实现对传统信赖域方法的优化。然后在一定的假设下，证明该算法具有收敛性，并建立数学模型，用数值结果来证明算法的可行性与有效性。

关键词 无约束优化；信赖域方法；自适应技术；非单调技术

Adaptive trust region method for unconstrained optimization

Abstract

Unlimited optimization covers many areas of social life. By converting to an unconstrained optimization problem, many theoretical and practical problems can be solved. In today's society, an unlimited discussion of optimization is very important. In most cases, the traditional trust zone algorithm is based on the experience of determining the radius of the trust zone. This is due to the emergence of adaptive technology, because the radius of the trust zone is somewhat blind. In this paper, we propose a new adaptive trust domain method, compare it with traditional trust domain methods, and modify the radius of the trust domain by calculating the linear function of the actual shrinkage rate and the estimated shrinkage rate. law enforcement. optimization. Then, under certain assumptions, the algorithm converges and establishes a mathematical model. The numerical results prove the feasibility and effectiveness of the algorithm.

Key Words: Unconstrained optimization;Trust region method; Adaptive technology; Nonmonotonic technique

目 录

摘 要 I

Abstract II

第一章 绪论 1

1.1 研究目的与意义 1

1.2 国内外研究现状 1

第二章 基础知识 3

2.1 无约束优化问题 3

2.2 传统信赖域方法的基本框架 3

2.3 自适应技术简介 4

2.4 非单调技术 6

第三章 无约束优化的自适应信赖域算法 7

3.1 自适应信赖域算法 7

3.2 收敛性证明 9

第四章 数值实验 12

4.1数值实验 12

第五章 结论与展望 14

5.1 结论 14

参考文献 16

致谢 19

第一章 绪论

1.1 研究目的与意义

最优化方法当下在科研、工程、军事、生产、管理、经济等各个领域都具有很强的实用性。

最优化理论与算法所研究的主要对象是在繁多复杂的设计方案，在这些设计方案中寻找到最好的一个，并且给出找出该方案的方法。我们需要在一定的物质资源、人力资源和财力条件下，或者在同样的条件下，我们需要最少的物质资源、人力资源和财力，这样才能获得最大的利润。这是现实生活广泛存在的问题。用数学语言来说，优化问题就是在诸多方案中找到能使收益最大化的哪一个。一般情况下，一个好的优化算法可以同时满足两个基本条件：较快的收敛速度和全局收敛性。为了对传统的信赖域方法进行优化，同时促进优化理论的实际应用，本文的主要目的是研究一种有效求解无约束优化问题的新算法，数学建模的思想将在本项目的后期使用。最优化方法与数学建模相辅相成，算法的验证需要通过数学模型进行数值实验，最优化方法受到了大多数数学建模学者的重视。我们有必要了解数学模型中优化方法的基本模型，提高数学建模能力，并从数学建模的构建思路和方法中吸取教训，获取经验。

1.2 国内外研究现状

1998年Jorge Nocedalt与Ya-xiang Yuan[1]提出了一种同时采用信任区域技术和线搜索的非线性优化算法。与传统的信任区域方法不同，如果试验步骤导致目标函数增加，算法不会解决子问题，而是从失败点执行回溯线搜索。回溯可以沿着直线或沿着弯曲的路径进行。

Dennis 与 Schnabel[2]也提出如果变量数量较大，则解决信任区域问题的成本可能很高，因为这需要解决一个或多个线性系统。

国内学者也提出了一种新的自适应信赖域方法：

潘少君,董朝丽,马昌凤[36]通过将非精确线性搜索法和信赖域算法相结合，提出了一种求解无约束优化问题的自适应信赖域算法，并在一定假设下，证明了该算法的全局收敛性。

信赖域方法是由Powell[3]在19世纪 70年代提出的。线性搜索方法是给定,定义搜索方向,沿着作一维搜索;与此不同,信赖域方法是取点后,先确定一个变化范围,然后以为中心确定一个空间闭球域，该空间闭球域称为信赖域，在该空间闭球域内搜索使目标函数二次逼近取到最小值的新点,同时根据要求适当调整信赖域半径Δk。如何选取和调整信赖域半径是一个信赖域方法优秀与否的关键,这也关系到了算法是否有效以及计算过程是否复杂。信赖域方法应用广泛，在许多领域内都是一种很好的方法。[4-6]

王一铁[7]在1999年发表了牛顿法的信赖域保护，在用牛顿法解无约束极值问题时，采用信赖域法进行保护。用二次函数 逼近f(x)，用了Goidfeid等人采用的I2摸，将转化为等价于解线性方程组 通过程序检验得知转化后总能使牛顿法摆脱困境。有全局收敛性且保持快速收敛特点。

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