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摘要

分析了一类车辆跟踪模型，其中车辆纵向加速度由与前车的距离、速度差和车辆自身速度的非线性函数决定。驾驶员对这些刺激的反应包括驾驶员的反应时间，该反应时间在控制微分方程中表现为时滞。分析了人-机(机器人)车辆等流量的线性稳定性。结果表明，考虑环路和排态时，稳定性条件是等价的。实验证明，时延会引起新的高频振荡，这种振荡表现为短波长的行波。利用最优速度模型对理论结果进行了说明，并通过数值模拟揭示了该模型的非线性行为。研究结果可能有助于更好地理解多车辆行驶动力学，并使设计合作自主巡航控制算法成为可能。

介绍

车辆交通是人类创造的最复杂的互联动力系统之一。 每个车辆由操作人员（有时由车载计算机辅助）控制，他们感知环境（即，其他车辆的运动，交通信号和道路状况），根据收集的信息做出决定并相应地驱动车辆。这个过程需要有限的时间，称为驱动程序反应时间。交通系统的紧急动态，即，交通模式在大时间和长尺度上的时间演化，是由这些延迟的、非线性的驱动程序到驱动程序和驱动程序到基础设施的交互决定的。本文着重研究了与之相对应的车辆跟随动力学问题。

到目前为止，已经构建了大量不同的汽车跟随模型[1-3]，但仍然没有建立起指导建模过程的首要原则(如果这些原则存在的话)。在许多情况下，作者声称开发的模型比之前的模型更好地描述了交通，而且这种说法通常是通过将模型与经验数据进行拟合来证明的。这种方法可能很容易导致模型捕获，但也会丢失，一些基本特征和适合一组数据的模型在推断到新的数据集时可能不再具有预测性。我们认为研究交通问题的另一种方法是研究一般的模型类，并在模型参数变化时对其定性动力学特征进行分类。

特别令人感兴趣的是车辆以相同速度彼此跟随的均匀交通流的稳定性，因为这种状态有利于交通安全和吞吐量。分析这一状态的方法在物理、应用数学和控制工程领域有很大的不同。为了弥补这两种方法之间的差距，我们用两种不同的方法计算了流动稳定性，结果表明，当车辆数量足够大时，这两种方法对考虑一般类别的滞后车辆跟踪模型具有相同的结果。(在[3]附录中给出了非延迟模型的证明。)这两种方法都对果酱形成的动力学机制提供了有价值的见解。尤其是除了在参数空间中稳定边界的位置外，还可以确定产生振荡的频率和发展中行波的波长。

虽然本文的研究重点是均匀流的线性稳定性，但我们强调，由于内置的基本速度 - 车头距离（或等效通量密度）关系，跟车模型本质上是非线性的。由于汽车跟踪模型的详细分岔分析超出了本文的研究范围，我们通过数值模拟说明了线性稳定性分析对非线性动力学的影响。

在车辆跟踪模型中，每个驾驶员车辆系统都由一组微分方程建模，这些微分方程根据驾驶员对外部刺激的反应与其他驾驶员车辆系统耦合。图1显示了一个队列的车辆在一个车道上车辆长度ℓ平等。在t时刻，第n辆车的前保险杠位置定义为xn(t)，其速度定义为vn(t) =˙x n(t)，与前面车辆的碰撞距离(称为车头间距)定义为hn(t)。可以从图读取,hn (t) = xn l (t)minus;xn (t)minus;ℓ,这导致

当对时间t进行区分时，为了完成模型,这个方程必须补充一个跟车规则,也就是说,速度或加速度必须给刺激的功能,通常是距离hn，速度差˙hn和车辆本身的速度v n。为了表示通过改变发动机扭矩来控制汽车的纵向动力学这一事实，我们选择了一类车辆加速度规定的模型：

为了简单起见，考虑具有相同特性的驱动程序。延迟tau;, sigma;, kappa;表示驾驶员对不同刺激的反应时间（处理信息和启动动作所需的停滞时间）。为了使模型更易于处理，可以假设不同延迟之间存在简单的关系。文献中常用的简化有三种:

1. 零反应时间:tau; = sigma; = kappa; = 0。这通常可以说是动态模型(2)可以通过改变其他一些特征时间来重现均匀流动以及零反应时间的行波[4]。

2. “人类驱动程序设置”:tau; = sigma; gt; 0, kappa; = 0。这个设置代表驾驶员对距离和速度差的反应(相同的)延迟，但他们立即意识到自己的速度[5,6]。

3.“机器人驱动程序设置”:tau; = sigma;= kappa; gt; 0。该设置主要用于自适应/自动/自主巡航控制(ACC)文献。延迟占了计算机控制车辆传感、计算和驱动所需的时间[7,8]。

许多其他设置也是可能的，例如，可以通过使用[9]中的分布式延迟来计算人类记忆效应。 我们注意到在第一种情况下，系统（1,2）由常微分方程（ODE）组成，其中初始条件由hn（0），v n（0）给出。 在后一种情况下，获得延迟微分方程（DDE）的系统，其中必须将hn（t），vn（t），tisin;[-tau;，0]指定为初始条件。 确定（2）中多变量非线性函数f的一般性质是一项艰巨的任务。然而，该模型必须能够再现速度和车头都与时间无关的均匀流动:

我们还假设了平衡进展hlowast;和平衡速度vlowast;之间的函数关系，也就是说，假设vlowast;具有以下性质:

假设V具有以下性质:

1. V是连续且单调递增的(交通越稀疏，驾驶员出行的速度越快)。

2. 对于hle;h stop，V（h）equiv;0(在非常拥挤的交通中，驾驶员打算停车)。

3.V (h) Vmax for large h(在非常稀疏的交通中，驾驶员打算以最大速度行驶——通常称为自由流)。

这个函数在控制升[10]中通常称为范围策略。图2的顶部面板显示了两个示例。左边的函数表示在停车和自由流状态之间，驾驶员希望保持恒定的时间间隔Tgap(也称为车头时距)，而右上角的函数则显示了期望的时间间隔随距离/速度变化的场景。

我们可以把平衡密度和通量定义为

这样，平衡速度-车头时距图就可以转化为图2底部所示的平衡流密度(基本)图。基本图的上升部分(代表自由流)可以在循环检测器收集的经验交通数据中观察到，而通常出现的是云而不是衰减部分(表示不稳定平衡)[3]。然而，三角形基本图通常用于设计斜坡计量和变速限制控制的流量控制策略[11]。

平衡速度-密度函数(距离策略)可以明确地构建到跟车模型中。对应的所谓最优速度(OV)模型[4,6,10,12]可以表示为

第一项对应于密度相关的最优速度的松弛，该最优速度由随松弛时间T增加的OV函数V给出，而在第二项中，相对速度项bge;0。模型(6)虽然简单，但几乎可以定性地再现各种交通行为。

图2，平衡SPEED-HEADWAY图vlowast;= v (hlowast;)是显示在顶部,并且相应的均衡通量密度图q * = Q（rho;*）显示在底部。

满足上述一般条件的另一种汽车跟随模型是智能驾驶员模型[7,13]。

模型中，a为最大加速度，b为舒适减速。其中平衡速度-车头时距关系由下式给出

相应的V在形状上类似于图2中的函数，除了hle;hstop时V (h) lt; 0。(然而，这里的均匀流动通常是不稳定的，并且在模拟中很少观察到这种非物理运动。)注意在(8)中V #39; (hstop) = 1/Tgap。

我们强调反应时间tau;,sigma;,kappa;（人类驾驶员asymp;0.5-1.5秒，计算机控制车辆asymp;0.1-0.2秒）不等于时间间隔Tgapasymp;1-2秒，这些代表不同的物理功能。它们也与对应于车辆的加速能力的松弛时间Tasymp;1-10秒不同。

有两种常见的车辆配置，可以用来描述稳定和不稳定的运动，从而得出交通动力学的骨架。

1. 环城公路配置:N车辆被放置在绕成一圈的长度L Nℓ收益率(hlowast;= L / N和周期性边界条件x N 1 = x1)。通常取N→infin;的大极限，使L/N保持不变。在[14]中对这种结构进行了实验研究。

1.环路配置：N个车辆放置在长度为L Nℓ的环上（产生h * = L / N且周期性边界条件x N 1 = x1）。通常，采用大N限制：N→infin;使得L / N保持恒定。这种配置已在[14]中进行了实验研究。

2.排配置：将N 1辆车放置在无限长度的道路上并且指定领导者（第N 1-st车辆）的运动 - 例如，在平衡状态下，其以v *行进。该系统被视为具有N个非线性积分器链的输入（v N 1）输出（v1）系统。 ACCs通常使用此配置设计[15]。

注意，在第一种方法中，关键参数是平衡车头时距h，而在第二种方法中，关键参数是平衡速度v。然而，这些量是与(4)联系起来的。我们将在下一节中说明均匀流动的线性稳定性的条件对于大N极限中的两种配置是等效的。在本文中，我们使用N = 33来绘制稳定性图，其足够小以使图示可读，但以表示大的N极限也足够大。

线性稳定性分析

在这一节中，在本节中，我们使用环路和排配置研究了不同延迟设置的均匀流的线性稳定性。线性化系统(1,2)关于平衡(3)，和定义扰动sn(t) = h n(t)minus;h，wn(t) = v n(t)minus;v，得到系数为正的n n(t)minus;v，得到物理上真实的驾驶员行为，即，驾驶员想要减少扰动。

环线和排线的稳定性分析需要不同的方法。在前者情况下,系统是自治的并且可以使用试验解决方案〜elambda;t，lambda;isin;C(相当于执行一个拉普拉斯转换。)这导致一个lambda;2 n阶特征方程。为了获得渐近稳定的均匀流动需要确保所有特征根在左中场复平面上,即对于所有lambda;[6,16]，Re（lambda;）lt;0。

排由领导者（N 1-st车辆）驱动。在这里为了获得稳定的均匀流动，必须确保扰动在沿着车辆链向上传播时衰减。在线性水平上，这可以通过研究连接wn 1和wn的拉普拉斯变换的传递函数来解决:如果传递函数的幅度对于所有激发频率小于1，则均匀流动是稳定的。在文献[10,15]中，这个属性通常称为弦稳定性。在下面的小节中，我们将确定不同延迟设置的这些稳定性条件。

案例1 - 零反应时间:tau; = sigma; = kappa; = 0

这个案子已经被报道在[3],但是我们调查的结果,因为它允许我们建立框架,将在即将到来的情况下使用。考虑到环城公路配置,用第二个方程(9)第一个,假设尝试解sn =eta;nelambda;t, w n =xi;nelambda;t,lambda;,eta;n, nxi;isin;C,可以得到特征方程

双方n根,用lambda;= iomega;omega;isin;Rge;0,分离的实部和虚部,并使用三角恒等式,可以确定稳定性变化通过霍普夫分岔与角频率在k = 1,N - 1为离散波数。相应的空间波长Lambda; = L / k, kle;N / 2 andLambda;minus;= L / (Nminus;k) k gt; N / 2; 即 k和N - k波数的空间分布规律相同。

注意，对于物理上真实的F，G，Hgt; 0参数区域，只允许波数kle;N/ 2。还要注意，无量纲参数F / H2，G / H取决于平衡h“，v”。它还可以证明，当通过增加F越过上述稳定边界时，一对复共轭特征根 /-iomega;从左到右穿过成像轴，系统变得“更不稳定”。对于k lt;N / 2，H2是k的递增函数（cf，（12）），对于最低波数k = 1，发生稳定性损失。在大的N极限中，我们有等→0，因此稳定条件成为

频率omega;→0。注意，对于lambda;= iomega;，可以计算特征向量分量所以

这表明振荡表现为行波（向上游传播）。当非线性被添加到系统时，小幅度非线性振荡可以以上述形式写入，振幅Vamp可以通过正规形式计算确定[12,16]。

对于排的配置，可以关注速度扰动omega;n与中的wz 1之间的关系，并定义状态，输出和输入和。也就是说，零延迟（9）可以重写为

相应的传递函数变为

其中是的拉普拉斯变换。在这里，可以研究控制器的稳定性：的极点必须在左半复平面上，这由F，G，Hgt; 0确保。

另一方面，为了确保均匀流动的稳定性（即弦稳定性），需要满足所有oe Rso的不等式| |lt;1，这导致条件

对于omega;→0，右侧是最小的，产生（14）作为弦稳定性的条件。注意，将色散关系（13）代入（12）得到（18），表明不同的方法是等价的。

案例2 - 人力驱动设置：r = ogt; 0，K = 0

由于tau;gt; 0，可以将时间重新缩放为t = t /tau;，并定义无量纲特征根和我们注意到，如果没有这种重新缩放，可以获得稳定性边界，但公式可能会变得更复杂。

对于环路配置，特征方程变为

可以用代替实部和虚部，但由于指数项，不可能消除omega;。相反，Hopf分岔曲线以参数形式给出

它们显示在图3的顶行。红色箭头表示波数k从1增加到N / 2（蓝色曲线），从N-1减少到N / 2（绿色曲线），也就是说，空间波长从到 在两种情况下。在左侧面板中，对曲线进行排序，使得稳定性边界由最低波数k = 1给出，即，当稳定性丢失时，预期会出现低波长低频振荡（对于零延迟情况）。相反，在右侧面板中，曲线彼此相交，并且预期高频短波振荡具有足够大的延迟。这种行为或可以通过以下事实来解释

曲线与垂直轴相交，这是在[0，x]区间上的递减函数。

也就是说，属于较高波数的曲线在较小的延迟值处穿过垂直轴。注意，根据（21），除非G / Hgt; 1/2，否则没有曲线与垂直轴相交。

对于排配置，传递函数变为

图3.用于人（顶部）和机器人（底部）驱动器的线性化模型（2）的稳定性图。在（20）和（28）所给出的蓝色和绿色曲线交叉时，稳定的区域被遮挡并且出现了分叉的分叉。红色箭头显示离散波长从L Ne变为2（L / N O. ; CF.（14）。与红色线性边界相关的厚红色边界信息（25）和（32），而红色交叉分离低和高速部分。

和导致

如果函数 是最小值，这显然是令人满意的。虽然这个最小值不能以封闭形式确定，但可以通过 来区分上述公式并找到稳定边界，这导致

求解第二个等式，得到tH作为o和G / H的函数，最小（正

资料编号：[5576]