摘 要

函数方法是求解数学物理方程中的重要方法，随着近代物理学的发展，这一方法越来越重要，应用也越来越广泛。在数学中，格林函数是一种用来解有初始条件或边界条件的非齐次微分方程的函数。在自然科学和工程技术中，为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，常采取变换的手段。正是由于积分变换这一特性，在微分方程、偏微分方程的求解中成为重要的方法之一，变换是一类重要的积分变换，用它求解偏微分方程就如同用对数变换计算数量的乘积或商一样简便。在这种变换下，偏微分方程可以减少自变量的个数直至变成常微分方程。变换则在线性偏微分方程中特别是对系数线性偏微分方程的研究中十分重要，它对求解各种数学物理方程都具有普遍意义。

本篇论文的主要内容是介绍常微分方程的函数，重点在于求解本征值问题函数的应用,主要是求解在无界区情况下对二维常微分方程的函数，方程的求解。以常微分方程为切入点,讨论了非齐次常微分方程的初值问题和边值问题，引入含时函数和与时间无关的函数，得出它们应满足的方程与条件，分析这些函数最一般的性质及物理含义，从而验证了通常函数方法在数学上的合理性，在此基础上总结并规范了函数方法解决问题的基本思想和步骤。结合具体实例，说明如何用函数方法解决数学物理问题了。用函数方法解决问题的关键在于求解函数。通过具体实例，介绍了几种求解函数的途径。这样从已知到未知，由浅入深，层层展开， 最后，以普通物理中的受迫谐振子问题为例，突出体现了函数方法的优点，并进一步说明了函数方法应用的普遍性。最后得出用变换求解微分方程必须先求出方程的函数这样来求解问题。

关键字：常微分方程，函数方法，方程，变换

Abstract

Green function is an important method for solving mathematical physics equations. With the development of modern physics, this method is become more significant and been widely utilised. In mathematics, the Green's function is used to solve the function of the non-homogeneous differential equation which has an initial or boundary conditions. Besides, in the natural sciences and engineering, in order to make the complex operations into simple operations, transformation has been frequently used. Because of this characteristic, integral transform become one of the important methods in solving differential equations, partial differential equations. Fourier transform is a class of integral transformation that make sense, it is simple and convenient in solving partial differential equations just like calculate the product or quotient using logarithmic transformation. By using this transformation, the PDE can reduce the number of independent variables until it change into ordinary differential equations. Fourier transform is important in linear partial differential equations especially in coefficient of linear partial differential equations, it make sense in solving mathematical physics equations.
The main content of this dissertation is to introduce Green functions of ordinary differential equations and the application of solving the eigenvalue problem of Green function. Primarily working on solving Green function with its zone in the case of unbounded two-demensional ordinary differential equations and solving the Laplace equation. At present, the main direction of the domestic research is based on partial differential equations which is difficult for students to study Green function. Introducing time-containing Green function and time-independent Green function, and deducing the functions and factors they need to be satisfied, analysing its properties and physical meaning, in order to prove it is possibility of usual Green function method in mathematics, based on all this above, this dissertation summarize and standardize the basic idea and process in solving Green function. With specific examples, the dissertation has used the Green function method to solve mathematical physics problems. The point in dealing with Green function method is to solve the Green function. The examples will tell you the approaches in dealing with Green function. Finally, the example of ordinary physics driven harmonic oscillator will explain the advantages of Green function method, proved it has been widely applied in several areas. Which also deduced that solving the Green function is the first step to the answer of differential equations by using Fourier Transform.

Key word: Ordinary differential equations, Green function method, Laplace equation, Fourier transform

目 录

摘 要 I

Abstract II

第一章 引言 1

1.1 函数研究的重要性 1

1.2 本文要讨论的主要问题和意义 2

1.3 目前的研究现状 2

第二章 函数方法 3

2.1 广义函数 3

2.1.1 广义函数的定义 3

2.1.2 广义函数的函数 3

2.1.3 广义函数的导数 4

2.1.4 广义函数的变换 4

2.2 二阶常微分方程的函数 5

2.2.1 问题的函数 5

2.2.2 边值问题的函数 8

2.2.3 广义函数 9

2.2.4 高维情况下非齐次问题的积分公式 10

第三章 函数在实际中的应用 12

3.1 物理中的受迫谐振子 12

3.2 变换求解常微分方程中对函数的应用 13

第四章 总结与展望 15

4.1 总结 15

4.2展望 15

参考文献 16

致 谢 17

第一章 引言

函数方法是求解数学物理方程中的重要方式，随着时间的更替，近代物理学发展的越来越迅速，这一方法越来越重要。但是在数学物理方程中，函数的作用是非常大的。例如在数学物理方程中，一个数学物理方程是表示一种特定的"场"和产生这种场的"源"之间的关系。好比，热传导方程表示温度场和热源之间的联系，泊松方程表示静电场和电荷散布的关系，等等。那么，当源被分化成很多点源的叠加时，若是能想办法知晓点源产生的场，通过叠加原理，我们可以求出同样边界前提下任意源的场，而这种求解数学物理方程的要领叫做格林函数法，而点源产生的场就是函数。变换是一类比较特殊而且重要的积分变换，用它求解偏微分方程就如同用对数变换计算数目的乘积或商一样简练。在这种变换下，偏微分方程可以减少自变量的个数直到变换成常微分方程。变换则在线性偏微分方程中特别是对系数线性偏微分方程的研究中非常重要，它对求解种种数学物理方程都具有广泛意义。

1.1 函数研究的重要性

函数方法作为数学物理中一种很传统的方法，通常我们用它来解决理论中的物理问题，就比如量子力学问题、经典点动力学的问题，固体物理问题等等。但是随着近代物理学的发展，函数方法的应用也是越来越广泛，不仅仅可以解决理论上的物理问题，更多的是用来解决普通物理问题，函数的优点也是被越来越多的人所认识，利用它来解决问题受到了很多的物理工作者的重视，而且与此同时，也有越来越多的人迫切的希望去掌握这一方法。

在解决数学物理问题中，与其他方法进行比较的话，函数方法是具有非常多的有点的，这里，首先，函数方法可以提供解决问题的物理思想，而且这种思想非常明确，这里也就是引进了一个“点源”的思想，在数学物理方程中，一个数学物理方程是表现出的是一种特定的"场"和产生这种场的"源"之间的关系。比方说，热传导方程表示温度场和热源之间的关系，泊松方程表达的是静电场和电荷分布的关系，等等。如许，当源被分化解析成很多点源的叠加时，若是可以想办法知晓点源产生的场，通过叠加原理，我们可以求出同样边界前提下所有种种的源的场。