文 献 综 述 1、选题目的和意义： 这个选题的目的是对于分数阶p-Laplace方程的Liouville定理与解的对称性问题，关于分数阶Laplace方程（即p=2），运用移动平面法将之前的线性推广到非线性，研究p＞1时解的情况，此时分数阶p-Laplace方程为非线性。

这个选题的意义是用一种更为简单的方法研究非线性分数阶p-Laplace方程的Liouville定理并且较容易地得出解的对称性。

2、国内外研究现状： 19世纪50年代， A.D. Alexandrov在研究常数曲率的n维曲面过程中, 发明了移动平面法, 并证明了平均曲率为常数的曲面一定是球。

1971年, J. Serrin 将这一方法应用到椭圆偏微分方程中，研究了一类椭圆型超定方程，借助于极值原理，得到关于区域与方程解的对称性。

这一结果不仅推动了椭圆方程解的对称性理论的研究，也极大地推广了移动平面法的应用范围。

更进一步地，在1989年，L. Caffarelli, B. Gidas 和 J. Spruck 将测度理论的思想加入到移动平面法中，研究了一类半线性椭圆方程解的局部行为及其在奇点附近的渐近对称性，这一问题对偏微分方程的研究与移动平面法的发展都具有深远的意义。

在2005年， C. M. Li, W. X. Chen 和B. Ou, 应用一种不同的思路来研究偏微分方程解的对称性。

具体地，就是不去直接研究偏微分方程，而是研究一类与之相对应的积分方程，即Riesz位势的形式，对于这类新的方程，与以前研究偏微分方程解的对称性方法不同的是，这里不再应用极值原理而是借助一类Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式，从而很容易地就可以得到关于此类积分方程解的对称性。

这一结果使得移动平面法的应用前景更加广阔。

最近几年, 对于分数阶p-Laplace方程研究已成为一个热门问题，特别是p=2,即分数阶Laplace方程的情形。