1.1 目的及意义

在科学实验与工程设计中，人们常常需要从遇到的实际问题和复杂现象里面抽象出一个能够反映事物本质的简单模型，以便于研究。然而，对于复杂系统的相关数据，仅靠传统的人工方法建立模型，从而精确的反映数据间的内在规律，是几乎不可能实现的。演化算法是一类模拟自然界遗传进化规律的仿生学算法，它的应用十分广泛，遗传算法是其中的一个分支。演化建模方法能够通过不断尝试和反复试验自动生成具有较高拟合精度的函数模型。与人工建模方法不同，它不需要事先确定模型结构,只需我们由问题的特征来确定一些构成模型的基本组成单元。

微分方程建模的核心问题是如何根据实际问题和已知数据构造一个合理有效的微分方程模型，从而对问题进行合理的分析研究和预测。该模型常用来描述随时间而变化的复杂系统和非线性系统，如人口的增长、疾病的扩散、天气的改变等现象都是用微分方程组模型描述的，在社会科学、生物学、医学、经济学等学科领域中有十分广泛的应用和重要意义。而微分方程的基础便是常微分方程，应用最广泛并成为重点研究方向。

1.2 研究现状

对于常微分方程组的建模问题，国内外的诸多学者们都对其做过许多深入的研究。

20世纪末21世纪初，武汉大学的康立山教授、曹宏庆等人^[1-5]提出用遗传算法(GeneticAlgorithm, GA）与遗传程序设计方法(Genetic Programming, GP)相结合的方式，首次实现了常微分方程组的自动化建模，并可对所研究的数据进行有效的预测，之后不断的对常微分方程组的演化建模相关问题进行深入的研究与改进。GP是20世纪90年代初在遗传算法(Genetic Algorithm, GA)的基础上发展起来的演化计算的一个新分支，目前正得到越来越广泛的应用。1989年 , 基于自然选择原则，来自美国斯坦福大学的Koza^[26,27]首次提出了GP方法，其用层次化的计算机程序来表达问题并成功地解决了许多问题。2004年，四川大学的唐常杰教授^[12,13]首次将基因表达式程序设计算法(Gene Expression Programming, GEP)引入国内，展开了严谨的探讨研究，并于国际会议WAIM202上发表了国内第一篇关于GEP的研究论文。至今，GEP逐渐发展为一种新的预测演化算法，常被用于常微分方程问题的演化建模。2008年，对于n阶线性微分方程，T. Allahviranloo等人^[7]提出用模糊技术进行求解；同年，Tsoulos等人^[9]引进具有语法进化的人工神经网络(Artificial Neural Network, ANN)，并在第二年由 Ioannis G.Tsoulos等人^[10]通过数据拟合、测试成功。2011年，济南大学的陈月辉等人^[8]使用基于树结构的混合演化算法来演化体系结构和粒子群算法(Particle Swarm Optimization, PSO)；第二年，ChaquetJ M等人^[6]提出可用傅立叶级数和进化策略对常微分问题进行求解。2014年，Ladislav Zjavka等人^[11]提出用多项式神经网络(Polynomial Neural Network, PNN)对微分方程组的问题进行求解。

到目前为止，已经有很多的演化算法可以应用于常微分方程的建模，但是常微分方程组的建模方法还不是很成熟，所以本文研究的常微分方程组的演化建模方法是有实际意义的，然后再将其进行实际应用。

2. 研究的基本内容与方案

2.1 研究（设计）的基本内容

微分方程组常用来描述与时间有关的复杂系统和非线性系统，但如何根据一些观测数据对这类系统建立一个比较理想的模型却很困难，传统方法往往需要复杂的参数选取过程和充足的建模经验，并且适应面也较窄。

演化算法是在受大自然机理的启发之下，依靠计算机的计算能力，在计算机上实施的模拟大自然演化过程的算法及其应用的总称。它主要应用来解决科学与工程上的复杂优化决策分析问题，其中包括对生命现象的研究，如人工生命。演化计算分为仿生演化和拟物演化，演化算法为微分方程建模的研究开辟了一个新的领域，微分方程的演化建模方法也因此而提出。

因此本课题的主要内容如下几点：

1.综述常用的常微分方程组建模算法，包括传统建模方法及演化算法，分析各种方法的优缺点；

2.研究各种演化算法的基本思想和基本技术，选取合适的算法作为本课题的主要研究对象；