随着现代科学和技术的进步，不断涌出新的偏微分方程，而其产生和应用的范围已经超过了传统思维物理学、天文学等领域。在化学、生命科学、经济学等自然科学和社会科学等领域，以及在资源勘探与开发、大型建筑与水利工程、通信工程、新能源开发、大气物理、医疗诊断与材料无损探伤等广泛的工程技术各个领域都涉及到偏微分方程的理论。不仅如此，随着电子计算机的发展，偏微分方程的应用也随即扩展到了计算机领域，成了一种新的信号处理技术。

在图像处理方面，Mumford和Snake提出了基于偏微分方程的图像分割；Marcelo等人提出了基于偏微分方程的图像修复、变形活动轮廓、运动追踪算法。所提出的模型在生活中有着广泛的应用，比如雾天图像复原领域，可以实现单幅图像的盲去雾，使得生活中的监控不再是“雾里看花”。

在流体力学中建立了Navier-Stoke方程，是不可压流体理论中最根本的非线性偏微分方程，是描述不可压缩粘性流体运动最完整的方程，是现代流体力学的主干方程。汽车开发是该方程的重要应用之一。

在金融学方面，期权定价理论是微观金融学的重要内容之一，在过去期权定价公式在实际使用中有所限制。直到现代Black-Scholes开创了Black-Scholes偏微分模型才有了重大突破。

偏微分方程不仅使许多科研成果中得到的巨大突破，其应用也体现在生活中的方方面面。比如生活中的LED灯，通过求解偏微分方程的数值求解求出自由反射曲面的面型，根据不同的光源和照亮需求得到不同的边界条件和具体的方程，可自由设计反射曲面，避免了透镜的加工成本高和对能量吸收率高等特点。

从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、数级展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。所以说，偏微分方程的求解的研究具有重要意义。

如果客体是属于各种波动现象或振动现象，诸如电磁波的波动过程，水波、声波等各种机械波的波动过程，弦的振动过程等，都可以用双曲型偏微分方程来表示。因为这类客体的量变规律具有共性，它们在适当条件下都可以抽象成理想化的态，双曲型偏微分方程恰好提供了在理想化状态下处理该类客体中各种量之间相互依存及发展变化的模式。对于双曲型偏微分方程的研究，可以进一步探究波动方程等的求解。

2. 研究的基本内容与方案

2.1基本内容

（1） 偏微分方程的基本概念