1．目的及意义

20世纪以来，互联网信息技术迅猛发展，人类社会形成了各式各样的网络，从生物体大脑中的神经网络，到生态圈内的食物链网络；从各个地区之间的交通网络，到分布在世界各地的信息通讯网络；从人与人之间的社会关系网络，到如今互联网社交媒体关系网络等等，网络逐渐进入科学家们的视野，成为近些年来备受关注的研究对象。而这些网络是及其复杂的，这给目前的研究带来了相当大的挑战。

一般而言，网络系统的复杂性主要体现在（1）结构复杂性，网络的节点个数、网络节点之间的连接、方向和权重以及网络随着时间的变化都是影响网络性质的因素，这些因素的影响必将导致网络的复杂性；（2）节点复杂性，网络中的节点不一定只受到其他节点的影响，它们可能是具有分叉、混沌等复杂非线性行为的动力系统；（3）各种复杂性因素的相互影响，在实际生活中，网络被各种各样的不可控因素影响，如电力系统遇到电力故障可能会导致互联网交互信息的中断，人体在摄入食物时，体内各种指标的上升或下降会引起人体新陈代谢网络的变化。

复杂网络的研究可以追溯到伟大数学家欧拉研究的“七桥问题”，在欧拉解决该问题后，图论并没有充分发展，直到20世纪60年代，随机图理论由两位匈牙利数学家建立，这被公认为在数学上开创了复杂网络理论的系统性研究。尽管随机图理论是自该理论创立以来所研究的基本理论，但绝大多数实际网络结构并不是完全随机的，因此科学家们开始考虑有特定构造的网络，并在世纪之交复杂性网络的研究在非随机网络方面取得了突破性进展，在物理学、生物学、社会学等众多学科中都得到了应用。

同步则是另外一个现实世界中随处存在的现象。从1665年物理学家惠更斯发现钟摆摆动同步的现象后，人们对同步的探索便从未停止。科学家们发现，大量的看似巧合的同步行为可以用数学给出理论解释，每个个体均可看作一个动力学系统，个体之间的耦合关系影响着个体间同步行为的发生。

复杂网络的同步是复杂网络理论重要研究方向之一，并在诸多领域开始得到应用。复杂网络的同步问题，一方面研究的是网络节点动力学如何反演网络拓扑结构，另一方面研究网络的结构是如何决定和影响网络节点之间的同步关系，不同拓扑结构如何影响同步过程。

在这方面已经有很多研究者给出了令人振奋的成果，如利用辅助系统方法研究基于牵引控制的多层网络同步问题，通过主函数方法探讨不同耦合方式下的多层网络同步能力，不同连接方式下的网络同步能力的差异等等。本文围绕网络的不同结构进行探讨，在其他条件相同的情形下，不同结构网络受到相同控制时，网络的同步能力差异。

{title}

2. 研究的基本内容与方案

{title}

复杂网络成为科学和工程的前沿领域后，针对网络同步问题，单层网络的研究随着小世界网络、无标度网络等的提出已经逐渐趋于成熟，而多层网络的同步仍然还有很多问题值得探讨。在复杂网络的描述中，人们习惯把具体网络抽象为具有节点与边的图，节点之间的连接方式、边权重、聚类系数、平均路径长度等数值刻画了网络的结构特征。多层网络的同步问题中，节点的同步分为层间同步与层内同步。层间同步是多层网络特有的概念，只有在层间一一对应时，层间同步才有意义，它描述的是不同层对应的节点达到统一状态的现象。而两层网络的层内同步描述的是某一层内的节点状态都达到一致的现象。当设置一层网络为驱动层网络，考虑对另一层网络的某些节点施加控制，该层网络受到与驱动层网络相关的控制器的影响，受到相应影响的网络被称为响应层网络。

在本文中，我们主要通过比较不同网络结构的两层网络在其他客观因素，如网络节点数、网络连接方式等相同的情形下，设置响应层网络固定个数且具有相同重要性的节点为牵制节点，在这些节点的动力学方程中引入控制器，控制器函数与驱动层节点状态相关，从而达到通过驱动层网络控制响应层网络的目的，进而观察不同结构的规则网络响应层层内同步能力的差异。

除此之外，节点内部的耦合情况也会影响系统同步能力，节点内部耦合情况由内连矩阵决定，它表征节点分量是否接收来自邻居节点对应分量的信息。我们可以选取Kuramoto模型、Lorenz系统、Chen系统等动力学模型对网络节点的动力学行为进行刻画，并分别讨论全连接网络、星型耦合网络、环形耦合网络及链型耦合网络等规则网络结构的同步能力，通过数值仿真并给出相应结论。
3. 参考文献

[1] 陈士华, 陆君安. 混沌动力学初步[M]. 武汉水利电力大学出版社, 1998.

[2] WuX , Zheng W X , Zhou J . Generalized outer synchronization between complexdynamical networks[J]. Chaos (Woodbury, N.Y.), 2009, 19(1):013109.