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摘 要

椭球面上的计算很复杂，不利于测量计算，因此，将椭球面上的元素化算到平面上就显得很重要。本文介绍的是高斯-克吕格投影。首先阐述了地球椭球的基本概念，并推导了子午线弧长的计算公式。接着推导出正形投影的一般条件，并在此基础上推导出高斯正反算的一般公式。最后，利用C语言编写了高斯正反算以及邻带换算的程序。

关键词：子午线弧长 高斯-克吕格投影 C语言

Design and implementation of common subroutine for geodetic calculation

Abstract

The calculation on the ellipsoid surface is very complicated, which is not conducive to measurement calculation. Therefore, it is very important to calculate the element on the ellipsoid surface on the plane. This article describes the Gauss-Kruger projection. Firstly, the basic concept of the earth ellipsoid is expounded, and the formula for calculating the arc length of the meridian is derived. Then the general conditions of the orthographic projection are derived, and the general formula of the Gaussian positive and negative calculation is derived. Finally, the program of Gaussian positive and negative calculation and adjacent band conversion is written in C language.

Keywords: meridian arc length ; Gauss-Kruger projection ;C language

目 录

摘 要 I

ABSTRACT II

第一章 绪论 1

1.1 引言 1

1.2 研究背景和意义 1

1.3 研究现状 2

1.4 本文所做的工作 2

第二章 地球椭球的基本理论 3

2.1 地球椭球 3

2.2 地球椭球参数之间的相互关系 4

2.3 大地坐标系和子午面直角坐标系 5

2.3.1 大地坐标系 5

2.3.2 子午面直角坐标系 6

2.4子午面直角坐标同纬度的关系 6

2.5 两种曲率半径 8

2.5.1 子午圈曲率半径 8

2.5.2 卯酉圈曲率半径 10

2.6 子午线弧长计算公式 11

2.7 由子午线弧长反求大地纬度 12

第三章 高斯投影 15

3.1 地图投影基本概念 15

3.1.1 投影方程 15

3.1.2 长度比 15

3.2 高斯-克吕格投影的基本概念 16

3.2.1投影方法 16

3.2.2高斯平面直角坐标系 16

3.2.3 投影分带 17

3.2.4 三度带与六度带之间的关系 17

3.3正形投影的一般条件 18

3.3.1 椭球面到投影面的公式 20

3.3.2 投影平面到椭球面的公式 22

3.4 高斯投影坐标正反算公式 24

3.4.1 高斯投影坐标正算公式 25

3.4.2 高斯投影坐标反算公式 29

3.5 邻带换算 33

3.5.1 邻带换算的意义 33

3.5.2 邻带换算的方法 34

第四章 程序设计 35

4.1 程序概况 35

4.2 程序流程图 35

4.2.1高斯正算流程图 35

4.2.2 高斯反算流程图 36

4.2.3 邻带换算流程图 37

总结与展望 38

参考文献 39

致谢 41

附录 42

第一章 绪论

1.1 引言

首先，在建立各类控制网时，如果采用椭球面上的元素，比如经纬度，那么进行角度平差和长度平差时，不能直接运算，得先把这些元素化算到椭球面上，再进行计算，这样就给测量工作带来了不便。其次，无论什么比例的地形图，坐标系都是采用的平面直角坐标系，不会采用大地坐标系或者其他一些坐标系。因此，为了便于测量工作的展开和生产实践，需要将椭球面上的元素化算到平面上，在平面上进行计算^[1]。这就涉及了投影的概念，而投影方法又有很多种，每一种都各有优劣，没有一种完美的投影方法，即能适用于所有的国家和地区，适用于各种需要。而高斯投影作为一种分带投影法，具有很多优点，世界上很多国家都在使用，并将它作为大地测量和地图投影的数学基础。我国在20世纪 50年代规定大于和等于1∶500 000的地形图采用高斯投影^[2]。这就意味着，我们国家的等级控制网以及各种比例的地形图，都是在高斯投影的基础上形成的，并且测量的数据量非常大。而随着计算机技术的发展，对数据进行批量处理也成为了可能，因此，利用计算机实现高斯投影坐标的计算具有重要意义，本文也将围绕着高斯-克吕格投影来展开。

1.2 研究背景和意义

在选择地图投影时，需要根据测量的任务来定。首先，在建立控制网时，存在着大量的角度观测，这就需要角度没有变形，以减少投影计算的工作量^[3]。正形投影由于投影前后没有角度变形，正好满足这一要求。另外，测绘地形图的目的是满足国防和经济建设的需要，这就需要地形图便于识别。而正形投影的另一个重要性质就是，在一个较小的范围内，长度比与方向无关。这一性质保证了正形投影在一个较小的范围内，图形具有相似性，给地形图的绘制以及图上的计算带来了方便。其次，在正形投影中，应该保证长度和面积的变形不大，并且变形的量可以准确计算。但是，如果投影变形量很大时，计算也显得不那么容易，这样投影相对于椭球面上直接计算的优势也不复存在。因此，投影时，需要将投影区域控制在一定范围内，以保证能够比较容易地计算改正数。最后，投影前，椭球面上有一个统一的坐标系，投影后，理应保证投影后也是一个统一的坐标系。但是这样引起的投影变形会很大，从而大大地增加了工作量。因此，投影时，需要将投影进行分带，在一个较小的范围内进行投影，以控制变形量。接着再将各个投影带取一定的重合区域，用数学方法使投影带连接起来，使坐标系统能够统一。

1.3 研究现状

对于高斯正反算来说，首先要计算子午线弧长和底点纬度，从根本上讲，子午线弧长和底点纬度的精度决定着高斯正反算结果的精度^[4]。目前对于高斯正反算的研究也主要集中在子午线弧长的计算以及底点纬度的计算这两个方面。其中子午线弧长的计算有四种算法：常微分方程数值解法，多项式展开算法，递归算法和数值积分算法。底点纬度的计算有两种方法：迭代算法和直接解法。总的来说，这些研究的目的是提高计算的效率以及计算结果的精度。

1.4 本文所做的工作

第一章，介绍了研究背景，研究现状；第二章，介绍了椭球的基本参数，推导了子午圈曲率半径和卯酉圈曲率半径的计算公式，并且在此基础上利用多项式展开法推导出了子午线弧长的计算公式，最后给出了利用子午线弧长计算底点纬度的迭代算法；第三章，介绍了高斯投影的基本概念，推导了正形投影的一般条件，并且在此基础上，结合高斯投影的特殊条件，推导出了高斯正反算的公式，最后，介绍了间接进行邻带换算的算法；第四章，对高斯正反算以及邻带换算的程序进行了介绍。

第二章 地球椭球的基本理论

2.1 地球椭球

无论是自然的地球表面，还是大地水准面，都是一个不规则的球体，不能在球体表面进行运算。因此，用一个椭球体来代表地球椭球，称为参考椭球，它是大地测量的基准面，也是地球投影的基准面，由长半轴为，短半轴为的椭圆绕其短轴旋转而成^[5]。如图2-1所示

图2-1

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