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摘 要

现有的整体最小二乘算法(Total Least Squares，TLS)，能够较好的处理变量误差模型（Errors-in-Variables，EIV）的参数估计问题，因此，在国内外诸多学者的研究中得到了长足的发展。在实际工程应用中通常会遇到非线性的拟合问题，然而已有的研究成果大多是基于标准EIV模型的，在处理曲线拟合等非线性问题时，存在一定的限制。针对这一问题，在对整体最小二乘TLS的函数模型研究之后，本文提出了一种基于非线性高斯-赫尔默特(Gauss-Helmert, GH)模型的工程曲线拟合方法。首先将圆曲线的函数方程抽象为非线性高斯-赫尔默特模型的形式，然后将该方法应用到工程圆曲线拟合的计算中去。模拟实验结果表明：基于高斯-赫尔默特模型的曲线拟合法求解的参数估值优于经典最小二乘法的计算结果。

关键词：EIV模型 整体最小二乘 非线性高斯-赫尔默特(Gauss-Helmert, GH)模型 工程曲线拟合

Research on Engineering Curve Fitting Method Based on Total Least Squares

Abstract

The existing Total Least Squares (TLS) algorithm can effectively solve the parameter estimation problem of errors-in-variables (EIV), Therefore, it has made great progress in the research of many scholars at home and abroad. Nonlinear fitting problems are often encountered in practical engineering applications. However, most of the existing research results are based on the standard EIV model, so there are some limitations when dealing with nonlinear problems such as curve fitting. In order to solve this problem, after the research and analysis of the function model of total-least-squares (TLS), this paper puts forward an engineering curve fitting method based on Gauss - Helmert (GH) model. Firstly, the function equation of the circle curve is abstracted into the form of the nonlinear Gauss-Helmert model, and then the method is applied to the calculation of engineering circle curve fitting. The simulation results show that the parameter estimation of the curve fitting method based on Gauss-Helmert model is better than that of the classical least square method.

Key Words: errors-in-variables (EIV) model; Total Least Squares; Nonlinear Gauss-Helmert model; Engineering curve fitting

目录

摘要 I

Abstract II

第一章 绪论 1

1.1 选题背景及意义 1

1.2 研究现状 3

1.3 研究目的和内容 4

第二章 TLS基本解法以及基于非线性GH模型的曲线拟合研究 5

2.1 经典LS与TLS的基本原理与解法 5

2.1.1 经典LS平差原理 5

2.1.2 基于EIV模型的WTLS算法 6

2.1.3 基于Parital EIV模型的WTLS算法 8

2.2 非线性高斯-赫尔默特模型及基本算法 9

2.2.1 非线性高斯-赫尔默特模型的提出 9

2.2.2 非线性高斯-赫尔默特模型的基本解法 10

2.3 曲线拟合的分析（圆曲线拟合） 11

2.3.1 圆曲线的测量及应用 11

2.3.2 基于TLS的圆曲线拟合方法 12

第三章 实验分析 15

3.1 模拟实验的主要思路 15

3.2 基于MATLAB的算法主要思想 15

3.3 主程序函数 16

3.4 实验（圆曲线拟合） 17

3.4.1 实验1 17

3.4.2 实验2 20

3.4.3 实验3 23

第四章 总结与展望 26

4.1 主要工作与研究成果 26

4.1.1 课题研究内容概述 26

4.1.2 毕设主要工作及研究成果 26

4.2 未来研究展望 27

参考文献 28

致谢 31

附录1（MATLAB对照实验拟合代码） 32

附录2（MATLAB模拟实验程序代码） 34

附录3 (MATLAB非等精度模拟程序代码) 38

第一章 绪论

1.1 选题背景及意义

十八世纪九十年代，最小二乘准则最早由高斯提出，这一准则回答了含误差观测值的待估参数求解问题。从此，最小二乘平差法在涉及测量数据处理的诸多领域得到了广泛的应用。在高斯研究的基础之上，马尔科夫对最小二乘理论进行了补充和阐述，得到了著名的高斯-马尔科夫模型（Gauss-Markov , GM）^[1]，以下是GM模型的定义：

函数模型：

随机模型：

在上述函数模型中，为系数矩阵，为观测向量，为待定参数，为的随机误差向量。在随机模型中，为的数学期望，为的协方差阵，和是对应的协因数阵和权阵，是单位权中误差。

从上述的模型不难看出， GM模型是一种线性观测模型，众所周知，GM模型仅考虑观测向量的随机误差，而忽略系数矩阵的误差影响^[2]。GM模型的系数阵是固定量，经典最小二乘LS估计可求得GM模型的最优无偏解，在理想状态下，经典LS法所获得的参数估值具有无偏性、一致性和方差最小等统计特性^[3]。

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