摘 要

掌握几何非线性的概念以及能够运用几何非线性理论来解决实际问题是我们必须学习的内容。本文的中心内容是二杆桁架结构的几何非线性行为分析。首先我们通过解析表达式的求解得出了二杆桁架结构荷载位移关系线性表达式以及非线性表达式，并利用二分法计算了非线性结构在指定荷载作用下的节点位移。通过线性求解与非线性求解的对比分析得出结构的受力状态因外力变形产生明显改变时就必须采用几何非线性分析理论进行求解计算。并把通过ANSYS APDL语言建立了二杆桁架结构的几何分析模型并施加相应的荷载作用进行分析计算，并把ANSYS计算结果与相应的数值计算结果的比较分析，验证了解析表达式的求解与计算以及ANSYS命令流编写的正确性。了解了悬索桥重力刚度的概念并通过算例分析其对结构行为的影响。了解到重力刚度较大时，活载对主缆变形的影响就很小。重力刚度较小时，活载对主缆变形的影响就会较大。

关键词：几何非线性 二分法 重力刚度 ANSYS

Abstract

The ability to grasp the concept of geometry nonlinear geometric nonlinear theory and use the theory to solve the actual problem is what we have to learn. The central content of this paper is geometrical analysis model analysis of the geometrical nonlinear behavior. First of all, we acquired the linear function and nonlinear function of load-displacement relationship of two bar truss structure. And the dichotomy is used to calculate the node displacement of nonlinear structure under specified load. Through the comparative of the linear and non-linear solution we know that the geometric nonlinear analysis theory must be used when the strained condition of structure is obviously changed because of the deformation by the external forces. We established the geometrical analysis model of geometrical analysis model and applying the corresponding load to acquire the node displacement by ANSYS. And compare the ANSYS calculated results with the corresponding numerical results, by the comparison we acquire that both the solution and calculation of analytic expression and the ANSYS APDL language are correct. Understand the concept of gravity stiffness of suspension Bridge and analyze its influence to structure behavior influence on the structure behavior through example. We know that the live load effect on the deformation of main cable will be smaller when the gravity stiffness is bigger.

Key Words: geometric nonlinearity dichotomy gravity stiffness ANSYS

目 录

第1章 绪论 1

1.1结构几何非线性的概念 1

1.2结构几何非线性理论及其应用 1

1.3非线性方程的求解方法 2

1.4本文研究的主要内容 3

第2章 二杆桁架结构的解析解 4

2.1二杆桁架结构荷载位移关系线性表达式 4

2.2二杆桁架结构考虑几何非线性的荷载位移表达式 5

2.3数值计算指定荷载作用下桁架节点的位移 6

2. 4 本章小结 9

第3章 二杆桁架结构的有限元数值解 11

3.1 有限元线性解 11

3.2有限元非线性解 13

3.3 本章小结 16

第4章 悬索桥重力刚度 17

4.1 悬索桥重力刚度的概念 17

4.2 悬索桥重力刚度对结构行为的影响分析 17

4.3本章小结 23

结论 24

参考文献 25

附录 27

致谢 43

第1章 绪论

1.1结构几何非线性的概念

经典线性理论基于三个基本假定:材料的应力、应变关系满足广义虎克定理；位移是微小的；约束是理想约束。这些假定使得三组基本方程成为线性。当这三个基本假定都满足时，可以按线性问题进行求解，当不满足其中任意一个时，就会转化为相应的非线性问题。根据线性理论的三个假定可以把非线性问题可以分为几何非线性、材料非线性以及状态非线性这三类问题。材料非线性就是指材料不满足虎克定理即材料具有非线性的应力-应变关系，由此基本控制方程的也会出现非线性问题。当约束条件不满足理想约束的假定时，结构在求解时约束的边界条件就会处于未知的状态，由此边界约束方程就会出现非线性问题，此类非线性问题就称为状态非线性问题。

当小位移假定不满足时，相应的就会产生大位移问题即几何非线性问题。对于几何非线性问题单元体的尺寸、形状变化要在受力前后进行严格的分析，由此会得到非线性的几何运动方程，引起基本控制方程的也就会出现非线性问题。简单来说，如果在外加力的作用下结构有大变形发生，结构的变位使体系的受力发生了显著的变化，荷载和位移不服从线性关系，以至不能采用线性体系的分析方法时就必须要用几何非线性的分析方法。几何非线性的特点是结构在载荷作用过程中产生大的位移和转动，此时材料可能仍保持为线弹性状态满足虎克定理，但是因为结构在外力作用下的变形会对结构平衡产生一定的影响，因此须在结构变形后位置上来建立结构的几何平衡方程。需要引起注意的是，大位移问题并不能代表所有的结构几何非线性问题，任何由几何状态改变引起的包括大应变、大位移、大旋转在内的结构响应的变化都应被包括在内。

1.2结构几何非线性理论及其应用

几何非线性理论一般分为有限位移理论和有限应变理论。其中有限位移理论指大位移小应变理论，有限应变理论指大位移大应变理论。在有限位移理论和有限应变理论中，有限位移理论一般在桥梁工程中的应用较广。几何非线性理论在桥跨结构长大化发展和柔性结构的发展应用下迅速的发展并且应用也越来越广泛，1888年在悬索桥结构分析中Melan就提出考虑主缆拉力的二阶影响并将在活载作用下悬索桥的平衡方程按变形后的位置来建立,几何非线性的挠度理论也由此提出且在1908年纽约的Manhattan大桥的设计中开始应用。挠度理论的应用使得工程造价大大减低由此也充分显示了其优越性。跨度保持世界纪录50多年的金门大桥的建立也应用了几何非线性理论。

对于斜拉桥来讲，由于斜拉桥跨度大，线刚度小，结构的在外力作用下会产生较大的变形，而且每一荷载增量均作用在几何尺寸不同的结构上，因此结构的位移与荷载呈非线性关系，因此在斜拉桥的计算中，必须考虑到几何非线性问题。对于悬索桥，悬索桥是柔性结构，结构在荷载作用下的变形不可忽略，在计算时须考虑结构在承受荷载之后的变形对内力分布的影响，即在悬索桥的计算中，必须要考虑到几何非线性的影响。在计算大跨度桥梁时，常常会建立以杆系结构的有限位移理论为基础的大跨度桥梁几何非线性分析平衡方程。随着计算机的发展与广泛应用，有限位移理论一般可以用有限元方法通过ADINA、 ANSYS 、NON-SAP等计算机结构分析程序来求解。

1.3非线性方程的求解方法

当结构的受力状态因变形而发生明显改变时，就必须用几何非线性方法进行分析。对于几何非线性问题，由于位移变化使结构的受力状态发生显著变化，荷载与变形之间不再服从线性关系，此时不能再继续应用叠加原理，结构应按变形后的位置来建立平衡方程。但是在建立平衡方程时变形后的位置是未知的，结构外力与位移之间又是非线性关系，无法直接求解计算，这些因素使得几何非线性问题的求解十分复杂性，因此需要采用增量方式直接逼近的数值计算方法来求解。目前一般的近似的数值解法主要有荷载增量法、迭代法以及混合法。