摘 要

径向偏振光是圆柱矢量光束的一种特例。圆柱矢量光束的轴对称偏振特性可将其分解为径向和角向两个成分，径向偏振光便是其中的径向成分。与传统的线偏振光不同，它应用于高数值孔径物镜的紧聚焦时，可产生更小的横向光斑尺寸以及更强的纵向场分布。在许多对横向分辨率要求较高且对聚焦深度要求较高的实际应用中有很高的发展前景。

本论文中主要研究的是径向偏振光束中的拉盖尔-贝塞尔-高斯光束（LBG光束），主要的研究内容是根据矢量衍射原理推导径向LBG光束在自由空间聚焦场中的场分布数学表达式，并对推导出的表达式进行仿真并用模型分析聚焦场的强度、相位及偏振分布，再由实际仿真结果结合紧聚焦场的设计讨论径向偏振LBG光束的紧聚焦特性。

仿真结果表明径向偏振LBG光束进过聚焦场后的总场强为径向与轴向两个方向的线性叠加。研究通过MATLAB软件实现对径向LBG光束的场分布仿真，通过改变光瞳函数中的截断参数，实现对不同光瞳半径与入射光束腰之比下的紧聚焦特性的分析，同时对聚焦场的不同场分布进行分析，探讨最优化的物镜设计。

本文的研究将有助于指导应用径向LBG光束的物镜参数的设计。

关键词：径向偏振光束；拉盖尔-贝塞尔-高斯光束；紧聚焦特性

Abstract

Radially polarized beam is a special case of cylindrical vector beam. The axisymmetric polarization characteristics of cylindrical vector beams can be decomposed into radial and angular components, among which radial polarized light is the radial component. Different from the traditional linearly polarized light, when it is applied to the tight focusing of high numerical aperture objective lens, it can produce smaller transverse spot size and stronger longitudinal field distribution. It has a high development prospect in many practical applications with high requirements on lateral resolution and focusing depth.

The main research in this thesis is Laguerre - Bessel - Gaussian beam (LBG beam for short) in radially polarized beams. The main research content is to deduce the mathematical expression of radial LBG beam field distribution in the free space focusing field according to the vector diffraction principle. The main research content is to deduce the mathematical expression of radial LBG beam field distribution in the free space according to the vector diffraction principle, and simulate the deduced expression and analyze the intensity, phase and polarization distribution of the focusing field with the model, then discuss the tight focusing characteristics of radial polarizing LBG beam by combining the actual simulation results with the design of the tight focusing field.

The simulation results show that the total field strength of radial polarized LBG beam after passing through the focused field is linear superposition of radial and axial directions. The field distribution simulation of radial LBG beam is controlled by MATLAB software. through changing truncation parameters in pupil function, the tight focusing characteristics of different pupil radius and waist ratio of incident beam are analyzed. At the same time, the different field distribution of focused field is analyzed, and the optimized objective lens design is discussed.

The research in this paper will help to guide the design of objective parameters of radial LBG beam.

Key Words: Radially polarized light beam; LBG beam; Tight focusing characteristic

目录

第1章 绪论 1

1.1径向偏振光束的研究历史 1

1.2 LBG光束的研究和发展 2

1.3研究目标与内容安排 3

第2章 径向偏振LBG光束的紧聚焦特性 4

2.1 基本原理 4

2.2 公式推导 5

2.2.1径向偏振光束聚焦面处场分布公式 5

2.2.2 LBG光束焦平面处的光瞳函数 7

2.3 聚焦区域径向偏振LBG光束的光强分布 8

第3章 LBG光束的紧聚焦特性 12

3.1 截断参数 12

3.2 像空间折射率 14

3.3径向LBG光束的聚焦特性的对比总结 16

第4章 结论与展望 18

4.1 工作总结 18

4.2 展望 19

参考文献 21

致谢 23

第1章 绪论

1.1径向偏振光束的研究历史

光束的偏振特性是指光波的振动方向相比于它的传播方向所具备的不对称性，它是横波特性与纵波特性之间的主要差别。同时，光场失量振动的空间分布相较于光波本身的传播方向不存在对称特点的现象即为光的偏振。传统的均匀偏振光：线性偏振光、圆形偏振光和椭圆形偏振光的应用范围包含了各种领域，主要在光纤传感与通信、提升显微镜成像效果、优化激光器性能、提高摄影图像分辨率等领域应用较多，产生十分明显的成效。

径向偏振光束（Radially Polarized Light，简称RPL光束）是圆柱矢量光束的特例^[1,2]，相较于传统的线偏振光,RPL光束具备其独特的优势。例如在环形孔径中，通过高数值孔径（简称NA）物镜聚焦的RPL光束能够产生的光斑尺寸远小于线偏振光，同时焦平面处所成聚焦光斑的纵向场分量较线偏振光更强，这也正是其聚焦性能优异的主要原因。不过相对的，RPL光束聚焦也存在能量转换效率较低的缺点。

1959年，B Richards和E Wolf研究推导了矢量衍射的积分公式^[3,4]，随后又以此为基础理论分析了高NA物镜紧聚焦情况下的焦斑特性。1972年由Y Mushier^[5]等人首次采用激光振荡的方式在研究实验中使用He-Ne激光器振荡获得了RPL光束^[6]。RPL光束的特点表现在其光束横截面上任意一点处的电场矢量方向始终与场强的径向分量的方向平行^[7]，即通过RPL光束圆心的各个方向。RPL光束的偏振分布特性具有环形光斑模式分布的特点，是环形光束模式^[8]的一种。不同于常见的基膜高斯光束，环形光束模式焦平面处场分布的分布特点是光轴处场强为零，环绕光轴的环状处场强分布最高。到了2000年，K S Young Worth和T G Brown在矢量衍射理论的基础上对柱对称矢量光束^[9]的聚焦特性进行了探讨，建立了一个具有高NA的聚焦系统模型^[10]，并从中推导出了RPL光束在其聚焦面处的场强分布数学表达式^[11]。S Quabis等人则是通过具体实验，测试出了三维的RPL光束聚焦场的强度分布。2004年C.J.R.Sheppard等人研究发现当RPL光束应用到显微镜成像系统时能显著提高显微镜的图像分辨率。到2007年，Y.Kozawa等人通过实验数值分析了RPL光束中的Laguerre-Gaussian光束（LG光束）在其聚焦场处的焦斑聚焦特性。同年，E.Y.S.Yew等人比较了RPL光束和平面波的紧聚焦特性并做出了分析。R.Dorn等人在实验中测量得出了径向偏振光聚焦场的轴向分量^[12,13]，并且得到了相对较小的焦斑。最近，Y.Kozawa数值分析得出了径向偏振光能够有效提高显微镜分比率等等^[14,15]。

学者们的研究成果表明径向偏振光束通过某些特定的聚焦系统，可以进一步减少其焦斑尺寸，可通过相关透镜参数的设计提高其聚焦性能，在对聚焦精度要求越来越高的当下。

1.2 LBG光束的研究和发展

当今科技飞速发展下，光学领域的发展也是与时俱进，特别是在偏振光束的研究领域，很多优秀的研究成果已得到充足应用。例如，径向偏振光束中的两大光束：Laguerre-Gaussian（LG）光束与Bessel-Gaussian（BG）光束的紧聚焦特性已被大量学者广泛研究，研发出了很多优异的特点。在圆柱对称聚焦系统中，LBG光束代表了傍轴波动方程的解，这一解释是A.Tovar在2000年提出的，表征为Laguerre多项式，Bessel函数和高斯函数三者矢量积的形式，所以LBG光束能够在聚焦系统中同时具备LG光束与BG光束的大部分特性，并且能够根据需要自由调节。因此，LBG光束的推广具有很高的投入研发的价值。在具有高NA的成像系统中，电磁场的极化特性特别重要。已经证明，对于清晰孔径，线偏振或圆偏振在光斑尺寸减小方面优于径向偏振。然而，对于高NA的物镜，当其与环形孔径结合时，RPL光束会产生相应的整形器光斑尺寸。除此之外，具有径向偏振特性的激光束的特点还表现在当光束被强聚焦时，在焦平面处所成焦斑具有很强的纵向电场分布^[14]。众所周知，大量有吸引力的应用情况下，需要焦斑具有比较强的纵向电场分量一次产生高横向分辨率。然而，在一些应用中，期望获得小的焦斑并且还获得长的聚焦深度( DOF )。例如，人们会期望焦点在光学数据存储中具有高横向分辨率和长DOF，这导致光学场和物体之间更长的相互作用，以及更简单的对准过程和更好的光束聚焦容差。通过实验验证，RPL光束可以通过应用环形孔径将焦斑尺寸聚焦到明显要小于线性偏振的光斑尺寸。最新研究表明纵向偏振光束的产生可以通过用高NA透镜和三元光学元件紧密聚焦径向偏振BG光束来实现。然而，当下学者们对RPL光束的研究还主要集中在径向偏振的BG光束和LG 光束这两种广为研究的RPL光束的不同模式上。随着光传感和信息光学技术的发展，各精密设备逐渐对很多指标有了新的要求，如更高的信息存储密度、更清晰的图像分辨率和更快的通信传输速度等等，这就对传统的数值孔径物镜提出了更大的技术要求，而如今的大数值孔径物镜与短波长激光器的技术水平已趋于饱和，所以传统的技术已无法满足最新的市场需求。而为了解决这一困难而受到广泛关注的圆柱矢量光束的紧聚焦特性十分优秀，通过适当的相位（Phase）或偏振调制可以得到很强的聚焦性能，而径向偏振LG光束与BG光束就是其中拥有很好的潜力的径向偏振光束的两种类型^[16,17]，本文研究的则是集两者优点于一身的LBG光束的相关特性。

径向偏振LBG光束的光束“中空区域”相比于同为径向偏振的LG光束与BG光束要更大，这是因为径向LBG光束具有更多的高频成分以及更大的有效NA。这就说明相比于其他两种光束，径向偏振LBG光束的聚焦性能更优秀，在实际的应用中可以通过相关参数的调制在LG光束与BG光束之间转换或者同时具备这两者的相应特点^[18,19]，这种广泛的应用前景也就是本文选择研究LBG光束的主要原因^[20]。

1.3研究目标与内容安排

针对当前科研学者对径向偏振光束的研究，本论文确立了以下研究目标：

1. 基于矢量衍射理论，公式推导RPL光束在聚焦面处焦斑的场强分布公式并从三个方面分析该焦斑的聚焦特点，同时参考相关文献导出焦平面处LBG光束的光瞳函数，方便之后的模型仿真。
2. 根据推导出的焦点处场强分布，使用MATLAB 仿真该公式的三维分布图，设置简化的参数，研究其聚焦效果与公式分析的焦斑特点，相互比较探寻聚焦的实际与理论相符程度。
3. 在初步仿真的基础上，结合实际情况，分析不同截断参数下的高数值孔径物镜焦点处LBG光束紧聚焦特性的差别，同时比较不同折射系数下的焦斑特性，最后结合这两者参数变化的影响探讨最优的聚焦性能对应的截断参数数值和折射系数数值区间。
4. 对LBG光束的紧聚焦特性进行总结，在合适的区间中选择一种适用于实际需求的参数并分析它的聚焦效果、应用潜力和前景。

结合上述研究目标，本人对论文的正文布局做如下安排：

第一章，绪论。介绍径向偏振光束的发展史，将其与传统均匀偏振光的特性进行比较，再介绍LBG光束的研究与发展优势，规划本论文的研究目标和内容安排。

第二章，普通参数下的径向偏振LBG光束焦平面处焦斑的聚焦特性。基于B Richards 和 E Wolf提出的矢量衍射理论，理解并据此推导LBG光束在焦平面处聚焦场的各场分量数学表达式。分析径向偏振光束聚焦场的基本原理和焦点处场强分布会出现的特征与简化参数的MATLAB仿真三维场强分布图进行对比，分析一般情况下的径向偏振LBG光束的聚焦特点。

第三章，LBG光束在不同仿真参数（截断参数及折射系数）下聚焦效果的比较。对焦点处各参数下的场分布进行对比分析，得到的聚焦性能对相应的透镜参数的变化趋势，选取最合适的相关参数，以获得较全面的紧聚焦特点，探寻LBG光束的紧聚焦特性。

第四章，结论和展望。总结本文对径向偏振LBG光束的全部研究成果：各聚焦参数设置对径向偏振LBG光束紧聚焦特性的影响以及其一般情况下的紧聚焦性能。分析整个毕设研究过程中的不足，浅谈本次毕设过程中的一些收获和提升，并基于这些内容，提出一些仍可继续优化研究的部分，最后对径向偏振LBG光束的研发前景进行展望。

第2章 径向偏振LBG光束的紧聚焦特性

与标量光束不同，矢量光束具有更全面的适用范围和特性，其广度与深度较标量光束要优秀很多，特别是在高数值孔径物镜聚焦的情况下标量衍射理论的基本条件已不能成立。反之，相应的矢量衍射理论却不会受到条件限制同样能够适用于这种情形。因为矢量光束的上述优点，近年来越来越多的学者开始从事这方面的研究，其中在高级径向偏振LG光束和BG光束领域已产生了很多研究成果，并且相应的也开始将这些光束投入到实际应用中。而本文，便是基于B Richards和E Wolf的矢量衍射理论，先从原理方面公式推导了高数值孔径物镜聚焦下焦平面处的场强各分量分布的数学表达式，并对其数值分析，仿真其聚焦场分布，再与理论情况下的聚焦效果进行对比，分析一般情况下的径向偏振LBG光束的紧聚焦特点。

2.1 基本原理

首先，径向偏振的LBG光束产生于圆柱矢量光束。因为圆柱矢量光束的偏振具备轴对称性特性，所以在光束的截面中可以通过矢量分解原理将其分解为径向偏振模式与角向偏振模式两种完全特性不同的偏振模式，如下图所示。本文的整个聚焦系统的设计基于矢量衍射理论，主要针对研究了高NA物镜聚焦下的径向偏振LBG光束的聚焦面处的紧聚焦特性。

圆柱矢量光束

径向偏振模式

角向偏振模式

(a)

(b)

(c)

图2.1 圆柱矢量光束的分解

2.2 公式推导

2.2.1径向偏振光束聚焦面处场分布公式

在进行公式推导之前，本文先结合相关条件设计了一般情况下的圆柱矢量光束的紧聚焦系统，如下图2.2所示。

θ

α

g

k

0

1

P

S₁

g₁

图2.2 聚焦系统

假设RPL光束的入射场存在特定的分布，且整个入射系统的入射面是平面的相位波前，经过了消除像差处理的物镜在聚焦面1处产生了会聚的球面波，然后从图中的面1到面P形成了到达衍射极限的聚焦场。从图2.2中可知，光波矢量g与光的传播方向垂直，它在柱坐标下的笛卡尔分量表达式可以表示为^[21]：

（2.1）

式中的是相对光线传播轴x轴的方向角，而其中的波矢量g则在物空间代表径向分量的场分布，所以相应的角向场成分可以表示为，其中是沿着纵轴z轴的单位矢量。所以在0平面的合光场可以矢量分解为径向和角向两部分：

（2.2）

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