摘 要

大部分激光器的输出光束为高斯光束，为了解光束特征、提高光束质量，本文对共焦腔厄米高斯光束光斑的形状、尺寸和能量分布等特征利用MATLAB进行仿真，并利用CCD照相机对氦氖激光器输出光束进行测量。方形镜共焦腔整个腔内外空间中的场均可由厄米高斯光束的形式来表征，由共焦腔和一般稳定腔的等价性可以推导出一般稳定腔的场分布解析函数。

本文首先阐述了课题研究的背景和意义，以及国内外的研究现状；介绍、推导了厄米高斯光束的镜面场分布函数、行波场函数，共焦腔和一般稳定腔的等价原理,以及高斯光束的整形；然后用MATLAB仿真出平凹腔氦氖激光器厄米高斯光束可能存在的光斑形状、能量分布，以及一定位置光斑尺寸同腔长的关系；最后通过CCD照相机成像系统测量氦氖激光器的光斑，来比较分析实际应用中氦氖激光器普遍存在的模式和光斑尺寸的规律,根据可用的高斯光束整形技术分析了氦氖激光器激光光束的应用。

根据仿真和实验结果，在半外腔氦氖激光器中腔长为后腔镜的曲率半径的二分之一时远场光斑尺寸最小；混杂模光斑的形状、能量分布与各模式系数变化存在规律；无论何种形式的混杂模光斑能量分布都不均匀。

关键词：厄米高斯光束；仿真与测量；光斑尺寸；能量分布

Abstract

Most of the laser output beam is a Gaussian beam.In this paper,the spot shape, size and energy distribution characteristics of Hermit Gaussian beam in confocal resonator are simulated by MATLAB,and output beam of He-Ne laser is measured by CCD camera,in order to understand beam characteristics and improve the beam quality.The field inside and ouside spcace of square mirror confocal cavity can be described in the form of Hermit Gaussian beam,then the analytic functions of generally stable cavity field can be deducted by the equivalence of generally stable cavity and confocal cavity.

First,this paper describes the background and significance of the research,y as well as the current research; then it introduces and derives analytic functions of Hermit Gaussian beam field on the mirror and in the space,and equivalence of generally stable cavity and confocal cavity,as well as Gaussian beam shaping.Next,it simulates the spot shape, size and energy distribution characteristics of Hermit Gaussian beam in confocal resonator and relation of cavity length and spot size.Finaly,author measured the spot of He-Ne laser by CCD camera,to compare and analyze the generally existing modes and the law of spot size in He-Ne laser.The paper also analyzes the application of He-Ne laser output beam by available Gaussian beam shaping technology.

According to the results of simulation and experiment,when cavity length equals the half of concave mirror radius,the far field spot size gets the minimum.Spot shape, size and energy distribution characteristics of mixing modes are relative to index of each single mode.And energy distribution of mixing mode is uneven in all cases of combination.

Key Words:Hermit Gaussian beam;Simulation and measuring;Spot size;Energy distribution

目 录

摘 要 I

Abstract II

第1章 绪论 1

1.1 课题研究的背景和意义 1

1.2 国内外研究现状 2

1.3 本文主要研究内容 2

第2章 厄米高斯光束 4

2.1 高斯光束 4

2.2 厄米高斯光束 5

2.3 等价原理 8

2.4 高斯光束整形 10

第3章 厄米高斯光束的MATLAB仿真 12

3.1 MATLAB简介 12

3.2 基模光斑尺寸 13

3.3 单模高斯光束 14

3.3.1 TEM₀₀模（基模） 14

3.3.2 TEM₁₀模 16

3.3.3 TEM₁₁模 18

3.3.4 TEM₂₀模 20

3.4 混杂模高斯光束 21

3.4.1 TEM₀₀模 TEM₁₀模 21

3.3.2 TEM₀₀模 TEM₁₁模 25

3.3.3 TEM₀₀模 TEM₂₀模 28

3.3.4 TEM₀₀模 TEM₂₀模 TEM₁₀模 33

3.5 本章小结 34

第4章 高斯光束的实验测量 35

4.1 实验装置 35

4.2 测量过程 36

4.3 实验结果 37

4.4 结果分析 43

第5章 总结 45

参考文献 46

致谢 47

第1章 绪论

1.1 课题研究的背景和意义

激光谐振腔中辐射场的振幅分布遵守高斯函数的所有存在的波型被称作高斯光束。高斯光束有着广泛的实际应用，同时它也是其他分布类型激光束的基础。

激光光束一般为高斯光束，其能量分布并不均匀。稳定球面腔激光器输出的激光以高斯光束的形式在空间中传播；而激光以其高相关性、高单色性、高方向性及高亮度的特点在材料加工、生物技术、信息技术和国防工业等领域应用潜力巨大，所以对高斯光束的模式和特征以及其在空间中的传输规律对激光光束理论和应用具有指导作用。激光光束的光斑尺寸、形状和能量分布等特征参数决定了激光光束质量的好坏，进而影响到激光系统的综合性能。光斑的大小和能量分布在激光材料加工和处理中有着极大的影响，而且在光存储、光信息传输和光学系统成像中激光光束的质量极为重要；日常生活中诸如激光打印机、激光扫描仪中激光光束光斑的尺寸和形状要求也非常高。光斑的尺寸、形状和能量分布在现代仪器中也影响着光学成像的清晰度和物像相似性。

激光光束具有能量成高斯分布的特性，在激光焊接、生物医学工程、激光加工等技术领域，能量分布不均匀会使得局部温度升高，破坏材料特性^[1]。因此在很多激光应用领域，激光光束的能量非均匀分布特性限制了其应用。所以需要对高斯光束加以整形，使其能量分布相对均匀以成为平顶光束，来消除对加工材料的不良影响，增加激光光束的可利用场合和应用性。所谓光束整形是将输入平面上光束的复振幅分布经过光学系统调制后，变换为输出平面上符合要求的光束复振幅分布的过程。光束整形技术有非球面透镜整形、微透镜阵列整形、衍射光学元件整形、孔径光阑整形等。

因此，对高斯光束的光斑尺寸和形状加以研究，并对其能量分布加以改进，可以一定程度上增加对高斯光束理论知识和基本概念的理解，加深对激光光束性质的理解和掌握，对激光器的实际运用起到指导作用；提升光束质量，为激光光束的广泛应用打下理论基础。同时，MATLAB作为一款功能强大的数据软件，可以通过简洁易用的指令表达式将高斯光束表达式作图可视化；高斯光束表达式可由谐振腔衍射理论和波动方程推导而来，对抽象概念理解和数理计算均有较高要求。运用MATLAB将其可视化，直观的表达高斯光束光斑形状和能量分布情况，便于理解高斯光束的性质特征，与此同时也加强了对MATLAB这款软件的掌握程度。仿真的同时，在对实验室氦氖激光器输出光束光斑的测量实验中，了解CCD的工作原理和使用方法，强化动手能力和实践技能。通过仿真和实验测得的图像相比对，从中分析实测激光器输出光束可能包含的光学模式，在此过程中再次深化对基本概念的理解，提高自己的分析能力。

激光光束由于能量分布为高斯分布，能量主要集中在中心圆内；而能量的非均匀分布会导致中心局部温度的升高，破坏材料特性，这限制了激光光束在诸多应用领域的应用和发展。为了消除能量分布不均带来的不良影响，需要对高斯光束整形，使其成为分布均匀的平顶光束。

1.2 国内外研究现状

由于高斯光束的特征一定程度上决定了激光光束质量的好坏，为掌握光束性质来提高激光器输出光束质量，国内外学者对高斯光束进行了大量基础的研究，理论上运用各种数值方法来分析谐振腔和光波导，用来计算光束传输和模式，诸如快速傅里叶变换方法（FTT）、有限差分法（FDM）、有限元光束传播法（FEM-BPM）、Fox-Li数值迭代法^[2]。吕百达等（1993）在对板条激光器用光腔的模式计算中采用快速傅里叶变化法，这种方法具有很高的计算效率，大大减少了计算时间。对激光器稳定腔模式理论国内外学者也做了一定研究。国外学者从共焦腔出发得出稳定光学谐振腔内的光场分布函数，YARIV和SVELTO给出在直角坐标系内年，稳定光学谐振腔内的电矢量的近似表达式^[3]~[5]。曹三松（2010）采用更为一般的解析方法，对稳定腔激光模式理论中的场分布公式重新进行推导，得到了一种新的结果。

对于激光光束的整形，最初采用的方法是孔径光阑获取均匀光，因为高斯光束中心区域分布比较均匀，所以在激光束前置小孔光阑，保留中心区域高斯光束中心区域能量分布较为均匀的光能，滤除边缘区域能量。虽然这种方法简单易行且成本低廉，但是光能损失严重。为了克服这一缺点，目前人们已经发展了双折射透镜组法、液晶空间调制器法、长焦深整形元件法、非球面透镜法和衍射光学元件法等等^[6]。其中，衍射光学元件法最具有发展潜力，而非球面透镜组法最具有工程使用价值。高瑀含等（2011）选择超洛伦兹函数作为平顶光分布函数，利用该方法设计的非球面透镜组实现了高斯光束的整形变换，测试结果表明平顶光的均匀度为87.1%，该方法计算量小且简单使用，可用于实际工程设计。

1.3 本文主要研究内容

文首先介绍了其撰写所处的背景和课题研究的意义，阐述了高斯光束的基本理论；然后根据厄米高斯光束的场分布函数，用MATLAB对各模式光束的光斑进行仿真；通过比对国内外各种测量方法，结合课题目标和实验条件，采用CCD相机测试系统对氦氖激光器的远场光斑进行测量，与仿真结果比对分析。最后得出厄米高斯光束的能量分布特征以及其应用。本文内容安排如下：

第一章：介绍课题研究的背景，包括高斯光束性质对激光应用的影响和高斯光束整形的意义；介绍国内外对于高斯光束传输和模式计算、激光光束光斑能量分布测量和高斯光束整形均匀化的研究现状。

第二章：介绍高斯光束的理论知识，厄米高斯光束镜面场、行波场函数的推导，以及利用腔的等价原理的转换，以及高斯光束整形的非球面透镜法原理简单阐述。

第三章：用MATLAB仿真出厄米高斯光束基模光斑尺寸和腔长的关系曲线，单模和混杂模光束在不同比例系数情况下光斑的形状和能量分布。

第四章：用CCD照相机成像系统测量实验室氦氖激光器的在不同腔长和不同腔损耗情况下的光斑尺寸、形状和能量分布。结合仿真结果对测量结果进行分析。

第五章：对全文进行总结，得出结论。

第2章 厄米高斯光束

2.1 高斯光束

高斯光束是横向电场以及辐射照度分布近似满足高斯函数的电磁波光束。许多激光都近似满足高斯光束的条件，激光在光学谐振腔里以TEM₀₀波模传播，TEM表示光波为电磁波，m、n分别表示在x和y方向光场通过零值的次数，TEM₀₀被称为基模，其他称为高阶模。当它在镜片发生衍射，高斯光束会变换成另一种高斯光束，这时若干参数会发生变化。描述高斯函数的数学函数是亥姆霍兹方程的一个近轴近似解，属于小角近似的一种^[7]。这个解具有高斯函数的形式，表示电磁场的复振幅。使用高斯光束复参数表示ABCD定律能够统一而简洁的处理高斯光束在腔内、外的传输变换问题。在缓变振幅近似下求解亥姆霍兹方程，可以得到高斯光束的一般表达式：

（2.1）