摘 要

本文从电磁场的本质出发，采用波动理论分析方法，构造出半弱波导双包层阶跃光纤模型，即在纤芯-内包层界面使用弱波导近似，在内外包层界面不使用弱波导近似，将简化后的亥姆霍兹方程在柱坐标系下展开，并结合光纤的边界条件推导出光纤特征方程。除此之外，本文还从坡印廷矢量出发经过积分运算求得三个区域内的功率分布表达式。

经过Matlab软件仿真计算之后，本文从光纤的光强分布、功率分布以及模式数目等角度分析了光纤的模态特性。在研究模式的光强分布时发现这样一个规律：线偏振模LP_mn模式的光强分布，沿半径r方向出现n个极大值，沿方位角ϕ变化出现2m个极大值。

本文还分析了各个参数变化对功率分布的影响，并得出以下结果：半弱波导双包层光纤模型的特征方程与光纤的结构参数、内包层厚度以及内外包层折射率大小有关。光纤的结构参数变小时，传输在光纤内的模式数目会减少，泄漏到外包层的功率会增大；双包层光纤的内包层厚度减小时，泄漏到外包层的功率会增大；当内外包层折射率相对变化时，例如当外包层折射率变小时，泄漏到外包层的功率会相应减小。

关键词：双包层；阶跃光纤；特征方程；功率分布；光场分布

Abstract

Based on the wave theory starting from the nature of electromagnetic field, modified characteristic equations for double-clad fibers were derived under semi-weakly guiding approximation-namely the weakly guiding approximation is used at only the core-inner cladding interface other than at both the interfaces. Then we get the double-clad fibers’ characteristic equation from developing the simplified Helmholtz equation in cylindrical coordinate system and combining with the boundary conditions. In addition the expressions of the power flows distributed in the three regions of double clad fiber cross section are also given.

After the simulation of Matlab, this paper shows you the modal characteristics in three aspects: the optical intensity distribution, the power distribution and the number of modes. We found a rule: for light intensity distribution of line polarization mode LP_mn, there are n maximum along direction of radius and m maximum along the change of azimuth angle.

The results of this paper show that, in addition to the thickness of inner cladding, the structure parameters of the optical fiber and the refractive index of the inner and outer cladding also have a negligible impact of the power distribution of the modes. When the structural parameters of the optical fiber become smaller, the number of modes will reduce and the power leakage to the outer layer will increase. If we reduce the inner cladding thickness of the optical fiber, the power leakage to the outer layer will also increase. Moreover, when the outer layer refractive index become smaller, the power leakage to the outer layer will reduce accordingly.

Key Words：Double-clad; Step index optical fiber; Characteristic equation; Power distributions; Optical field distribution

目 录

摘 要 I

Abstract II

第1章 绪论 1

1.1 光纤及其分类 1

1.2 光纤导波模式的分析方法 1

1.3 研究现状及研究意义 2

1.3.1 研究现状 2

1.3.2 研究意义 3

1.4 论文主要研究内容 4

第2章 基于半弱波导双包层模型的模场分析 5

2.1 理论公式 5

2.2 特征方程 8

2.3 功率分布 13

第3章 仿真与计算 15

3.1 计算方法 15

3.1.1 确定传输常数β 15

3.1.2 确定电场分量系数 16

3.2 仿真结果 17

3.2.1 特征方程的解 17

3.2.2 功率分布特性 18

3.2.3 光强分布特性 18

3.3 结果分析 21

第4章 参数对仿真结果的影响 23

4.1 内包层厚度对功率分布的影响 23

4.2 结构参数对功率分布的影响 25

4.3 内外包层折射率对功率分布的影响 26

第5章 总结与展望 28

5.1工作总结 28

5.2 工作展望 28

参考文献 30

致谢 31

第1章 绪论

1.1 光纤及其分类

光纤是一种圆柱形光波导，光波在光纤中的传播原理是全反射，它能够引导光波在其内部沿着轴向方向或靠近轴向传播^[1]。光纤由纤芯、包层和保护套层构成。纤芯是由高度透明的材料（如石英玻璃等）经过一系列严格的工艺制成，是传输光波的介质；包层是一层折射率略小于纤芯折射率的材料，包层与纤芯构成了光波导^[2]，纤芯和包层的折射率分布也能够满足全反射原理，包层也起着保护纤芯的作用；套层是由高损耗的柔软材料制成，起着保护光纤的作用，套层材料的高损耗性能够有效地阻止纤芯和内包层光功率串到临近的光纤线路。

一般光纤可分为两大类：通信用光纤和非通信用光纤。对于不同用途的光纤要求也不同，通信用光纤需要满足低损耗、宽频带以及元件之间的高效率耦合等要求，对于非通信用光纤，要求具有诸如高双折射、高非线性等特殊的性能^[3]。与传统通信方式相比，光波导传输具有传输损耗低、宽带大、抗干扰性好、原材料丰富^[4]等优点。在长途干线，多媒体信息传输，通信专线等领域有着广泛的应用。

根据光纤中可传播的模式数目，光纤可分为单模光纤（SMF）和多模光纤（MMF），单模光纤的芯径约为10μm，多模光纤的芯径约为50μm；根据纤芯和包层折射率分布的不同，光纤又可分为阶跃式光纤和渐变式光纤，一般单模光纤是阶跃式光纤，而多模光纤可以是阶跃式，也可以是渐变式光纤^[5]。

1.2 光纤导波模式的分析方法

电磁场在光纤中传输时，由于纤芯和包层边界的限制，电磁场的解不连续，这种不连续的解就是光纤中的模式。光纤传输的模式是由麦克斯韦方程组和边值条件决定的在光纤中传输的电磁场的基本形态，分为导波模、辐射模以及泄露模三种形式^[6]，只有那些满足特定条件的才能够形成导波模，即场量只在光纤沿轴方向形成无衰减的正选行波特性的模式，这种模式可以在光纤中长距离的传输。

至今为止，对于光纤导波模的理论研究方法多种多样，最基本的方法是光线理论和波动理论。光线理论指的是当光波波长λ₀远远小于纤芯直径时，可认为λ₀→0，光波就可以近似地看成由一根根光线组成的。光线理论的优点是简单直观，分析纤芯较粗的多模光纤时结果是较理想的，但光线理论不能分析诸如模式分布、模式耦合、包层模以及光强分布等现象。

波动理论是一种比光线理论更为严谨的分析方法，它从光波的本质——电磁波出发，代入光纤的边界条件来求解麦克斯韦方程组得到电磁场的场分布，具有理论上的严谨性^[7]。光线理论和波动理论的分析思路如图1.1。

图1.1 光线理论和波动理论分析思路

不论是光线方法或者波动理论研究光纤的模式特征，在经过相应的解析方程和理论推导之后得到相关的公式后，解析方法不再适合，应采用数值方法或者作图法来求解方程，也需要借助数值分析方法来分析得出的光强分布、功率分布等现象。

1.3 研究现状及研究意义

1.3.1 研究现状

近几年来，光纤不只是应用于通信和光传感方面，在激光器方面^[5]也起到了很大的作用。其中双包层阶跃光纤被广泛应用在高功率光纤激光器和光纤放大器中来减小非线性效应。除此之外，双包层阶跃光纤还有增加泵浦功率和输出激光功率以及在功率放大阶段有效地保护光纤尾端面的优点。

然而光纤内模场和能量的分布对于激光的光束质量、输出光功率以及输出光的稳定性有很大的影响，例如增加纤芯的直径会加大高阶横模的传播，从而直接导致光束质量的恶化。

为了同时获得高光束质量和高激光能量的激光，人们也采取了很多特殊的方法例如优化稀土掺杂浓度、增益损耗控制、弯曲增益光纤等来抑制高阶横模，这些方法都是在光纤模式理论的基础上提出的，因此了解双包层阶跃光纤的模式分布并完善模态分析方法具有显著的必要性。

对单包层光纤模态特性的理论分析已经确立了几十年，基于弱波导近似的超临界流体的特征方程和功率流的解析表达式的推导过程也曾有人发表^[8]，然而由于更多的包层，特征方程的推导可能会遇到更多的困难。为避免复杂的推导，之前的文献中经常将双包层阶跃光纤的内外包层合为一个统一的包层，这样可以看成是单包层模型，这种方法被广泛应用于抑制高阶模式。

然而，双包层光纤由于有内包层的存在，其中传输的模式势必会与单包层模型有着比较大的差别，因此我们需要寻找另外的更加接近实际的模型，即直接面对光纤的双包层结构。因此为了简化计算，有的文献中提出了在两个界面都使用弱波导近似，然而纤芯和内包层折射率差较小，可以使用近似，但内外包层的折射率差不足够小到可以使用弱波导近似的程度，因此我们在内外包层界面不使用弱波导近似来分析双包层光纤。

1.3.2 研究意义

在之前的很多文献中，为了简便计算，都使用了单包层模型来模拟分析双包层阶跃光纤的方法，或者在纤芯-内包层以及内外包层之间的界面上都使用了弱波导近似的双包层模型^[9]，即假设纤芯折射率n₁约等于内包层折射率n₂，内包层折射率n₂约等于外包层折射率n₃，从而得出简化的特征方程并仿真研究，虽然纤芯和内包层之间的折射率可能相差不大，但是有时内外包层的折射率差不能忽略，因此之前采用的单包层模型某种程度上会出现与实际情况相差很大的数据结果，所以我们采用更接近实际情况的近似方法，用半弱波导双包层模型代替之前的单包层模型或者弱波导近似的双包层模型。

要研究参数改变对功率分布的影响也是实际应用中需要的。双包层光纤不仅应用于光纤激光器和放大器中，在其他领域也有所应用。例如在光镊技术中有时需要使用单包层光纤来捕获酵母菌细胞，虽然使用的是单包层光纤，但是光纤处在酵母菌细胞培养液中，可以看做是外包层半径无限大的一个双包层阶跃光纤，其理论模型正是本文所构造的双包层模型，要能够实现成功捕获酵母菌细胞，就要使传输在光纤中的光功率最大限度的泄漏到外包层，即酵母菌培养液中，这样才能形成拉力使酵母菌细胞成功吸附在光纤表面。但是并不是每一种光纤都恰巧能符合实验要求，所以我们需要对现有的光纤进行熔拉，这就是研究当光纤结构参数D保持不变，即内包层和纤芯半径成比例变化时，需要熔拉到多大半径才能够实现功率的最大限度泄露，使之能够捕获酵母菌细胞。

在一些通信领域，也同样要求传输在光纤中的功率值要尽可能的损耗，即要求光纤对功率的束缚能力要尽可能的大，所以我们研究光纤的各个参数变化对功率的影响是有意义的。更重要的是，我们发现模式特性除了受内包层的厚度的影响，也同样受到内外包层的折射率的影响，这在之前文献中不论是单包层或者是弱波导近似的双包层模型都忽略了这一点，所以本文所提供的半弱波导模型的特征方程也更具有使用价值。

本文的结论对于高功率光纤激光器和放大器的光纤设计以及模式控制方面都很有意义，对于其他类型的光纤，本文所提供的理论分析和仿真计算方法也同样具有参考价值。

1.4 论文主要研究内容

本文主要研究双包层阶跃光纤的模式特性，包括对横向电场分布、模式数目、光强分布以及功率分布的研究。 本文主要采用这样一种双包层模型，即只在纤芯和内包层界面使用弱波导近似，而在内外包层界面不使用弱波导近似，这种模型称为半弱波导近似双包层光纤模型^[10]。

基于这个假设和双包层模型，我们使用波动理论研究方法，从麦克斯韦方程组出发，将简化后的亥姆霍兹方程在柱坐标系下展开，结合光纤的边界条件求解满足模型电场和磁场的横向和纵向分量，经化简得出此模型的特征方程。