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Vasicek利率模型的蒙特卡洛模拟

Gouml;nuuml;l AYRANCI，Banu Ouml;ZGUuml;REL

土耳其，亚萨大学，保险与精算学部

摘要：建立利率模型是土耳其新政府对保险公司资本要求的规定的一个重要问题。这些名为Solvency II的规定有新的计算资本要求的标准。偿付能力II的偿付能力资本要求（SCR）计算有次级风险组。本研究重点关注SCR的利率风险，并且利用Vasicek模型建立了2.01.2008和5.12.2012之间的TRLIBOR利率时间序列，并通过OLS方法进行了校准。 估计参数的分布通过蒙特卡洛模拟得到。因此，不仅估计参数，而且给出置信区间。

关键词：蒙特卡洛模拟；普通最小二乘法；Vasicek模型

1. 背景介绍

利率和特别的利率波动在估计持有资金所造成的损失方面起着至关重要的作用。保险公司必须根据“偿付能力II”要求计算该风险的资本要求。2009年，财政部成立一个委员会，以便向部门通报有关偿付能力II指令，并评估这些指令对保险业的影响。十家保险公司，其中五名在职人员，四名非生命人员和一名再保险人员参加了这些研究。偿付能力资本要求（SCR）成为偿付能力II指令中公司的新的偿付能力标准。SCR是基于这样一个想法，即保险公司应该拥有足够的资本，以保证公司在一年期限内拥有足够的资产来支付其负债，其概率为99.5％。换句话说，SCR在1年的时间范围内被校准为基本自有资金的风险价值达到99.5％的置信水平。SCR旨在反映企业可能面临的所有可量化风险。基本的SCR计算分为每个风险的模块，调整技术规定的减值能力和递延税款。这些计算必须使用标准公式或内部模型每年至少进行一次。但内部模式提高了SCR的风险敏感性，并提供了更好的风险管理，这也提高了保单持有人的保护。Martin（2012）应用Gatzert和Martin（2012）的模型，为市场风险模块推出基本利率流程和参数的部分内部模型。Solvency II指令提供了对某些风险模块或业务单位进行建模的选项，并为其余部分使用标准公式。在文献中，已经提出了各种模型，诸如Merton（1973），Vasicek（1977），Dothan（1978），Richard（1979），Brennan和Schwarz（1979,1982），Cox，Ingersoll和Ross（1985），Rendleman和Bartter（1980），Longstaff（1989），Hull和White（1990），Pearson和Sun（1994）。这些模型可用于评估不同情况下的所有利率或有债权。建模过程中的主要困难是提供符合初期利率结构的参数。在这种情况下，几篇论文以一致的方式着重于对参数的估计。Chan等 （1992）使用广义方法矩估计和比较短期无风险利率的连续时间模型。 Kladivko（2007）研究了利率时间序列的CIR过程的最大似然估计。在比较Vasicek和CIR模型时，Munnik和Schotman（1992）使用了普通最小二乘估计法。Berg（2011）描述了校准Vasicek的模型参数的OLS和MLE方法。 Zeytun和Gupta（2007）也分析了Vasicek和CIR模型，为参数提供了结果。Carriere（2000）研究了人寿保险的长期收益率，并对Vasicek（1977），CIR（1985），Nelson-Siegel（1987）等模型进行了OLS方法参数估计。 Ouml;nalan（2009）解释了Vasicek和CIR模型的结构，然后给出了Vaiscek的参考估计方法OLS，CIR的Matingale方法。 此外，Şahin和Genccedil;（2009）调查了适用于土耳其数据的短期利率模式。

在本文中，我们研究了Vasicek模型与TRLIBOR数据的应用，以研究利率期限结构。 我们确定Vasicek模型的参数，并给出关于参数估计的置信区间。 通过使用OLS方法估计模型参数后，通过使用蒙特卡洛模拟获得这些估计参数的分布。

本文的其余部分安排如下。 第2节描述了我们的模型，并给出了Vasicek模型的微分方程的明确解。第3节以普通最小二乘法显示了Vasicek模型对TRLIBOR率的参数估计的应用。 第4节给出了蒙特卡洛模拟技术的解释，并显示了通过这种技术获得的结果。第5节结束。

1. Vasicek利率模型

利率过程已通过随机微分方程定义。这些模型通常分为均衡模型和无套利模型。 我们在这里只关注均衡模型，而仅仅是Vasicek（1977）描述的模型。Vasicek模型被分类为单因素模型，利率被称为即期利率。 单因素模型假设只有一个风险来源。这些模型可能在最近的多因素模型中是初步的，但它们提供了对利率研究的良好视角。此外，他们可以分析解决快速估价债券，期权，价格以及对冲参数的解决方案，如基于风险管理目的的三角洲（Sorwar，2007）。

在Vasicek模型（1977）中，即期利率遵循所谓的Ornstein-Uhlenbeck过程，方程式具有以下形式：

（1）

其中是维纳过程，在风险中性度量下建模随机市场风险因子。

这个模型展示和解释的最重要的特征是平均回归属性，这意味着如果利率大于长期平均值（rgt; ），则系数（gt; 0）使得漂移变为负值，使得利率沿着方向向下拉。因此，系数是利率向长期水平调整的速度。

Vasicek模型最有吸引力的特征之一是具有紧密的形式解决方案。 我们采用随机微分方程（1）的解，得出：

（2）

将等式（1）代入方程（2）得到：

（3）

重新排列等式（3）给出：

（4）

从等式（4）的两边的积分：

（5）

（6）

如果我们将方程的两边乘以，微分方程的解（1）是：

（7）

方程（10）给出的过程遵循具有均值的高斯分布：

（8）

和方差：

（9）

Ornstein-Uhlenbeck过程的长期分布是平稳的，并且是均值和方差的高斯分布。

1. OSL参数估计

Ornstein-Uhlenbeck SDE的显式解决方案在上一节中得到，即：

（10）

分别是平均值和方差的随机变量。假设遵循以下AR(1)过程：

（11）

时间网格hellip;上的等式（13）的离散版本（等时间间隔）和

（12）

其中是高斯白噪声。

最小二乘法的公式估计a，b，分别为：

（13）

（14）

（15）

3.1、 数据和结果

在本文中，我们使用隔夜即期利率TRLIBOR数据。土耳其里拉银行同业拆借利率（TRLIBOR）是土耳其批发货币市场或银行间市场主要银行之间定期存款的平均利率。TRLIBOR于2002年8月1日由土耳其银行协会发起，导致基准利率的形成，经济主体基于其预测。 基准利率的形成是一个重要的发展，因为它们将提高市场的透明度，在货币市场形成良好的收益率曲线，并通过更有效地定价金融资产来改善远期交易。

我们从土耳其银行协会TRLIBOR2数据期的网页上的研究样本是从2.01.2008到5.12.2012，并且对每个隔夜拆借利率都有1230个日常观察。其隔夜拆借利率如下图所示。

图1 2008-02-01至2012-05-12TRLIBO隔夜拆借利率

TRLIBOR利率在监测期开始时非常高,特别是在2008年的最后几个月。之后，2009年前几个月出现大幅下滑，从2010年至2011年的最后几个月似乎保持稳定。最后，有一个 增长趋势直到2012年。此后，价格下降到同一水平。

我们的样本数据的时间序列图如图1所示。从图中可以看出，建模利率是一个非常复杂和艰巨的任务。 Vasicek模型参数使用TRLIBOR数据估计，估计结果在表1中给出。但首先是争论Vasicek模型是否是TRLIBOR利率的正确选择。

TRLIBO隔夜拆借利率时间序列遵循AR（1）过程，因此使用Vasicek Model对我们的数据很方便。

表1 Vasicek 参数估计

1. 蒙特卡洛模拟分析参数

蒙特卡洛模拟是一组依赖于重复随机抽样的计算算法，以便实现分析结果，即使不是不可能实现的渐近结果。Buffon（1777）提出了这种方法的第一个用途之一，该实验计算了针在水平面上的一条线相交的概率，现在称为著名的布冯的针问题。 后来拉普拉斯（1886）提出了使用蒙特卡洛模拟进行评估的想法。此外，它还被开尔文（1901）用于气体动力学理论。但是，今天标注为“蒙特卡洛方法”的方法正式被Ulam（1940年）引入到文献中，他主张在与曼哈顿计划相关的整合问题中使用计算机，因为该计划没有正式的分析解决方案。

在蒙特卡洛模拟过程中，从输入概率分布生成伪随机变量。这些生成的样本称为迭代，每个迭代记录样本的结果。通过蒙特卡洛模拟，这个过程可以做到几十万次。以这种方式，蒙特卡洛模拟提供了更多关于可能发生的事情以及可能发生的可能性的更广泛的信息。蒙特卡洛方法使我们能够在量化分析和决策中考虑风险。该技术用于诸如金融（Haugh，2004），项目管理（Kwak和Ingall，2007），制造业（Pica等，（2006），工程（Amar，2006）），保险（Collins，1962），环境和资源经济学（Scarpa和Alberini，2005）。

4.1、模拟结果和置信区间

为了估计瞬时利率的发展，使用了Vasicek模型（方程1）的欧拉离散化，并给出：

（16）

其中是在N（0，1）中生成的随机数（Josef，2009）。

在模拟过程中，最重要的一步是准确估计我们的模型中的、和参数。

关于Vasicek模型的参数估计方法在前面的章节中描述。为了估计适合Vasicek模型的参数分布，使用蒙特卡洛模拟，并且在蒙特卡洛模拟过程的每次运行中，根据利率观测值估计新的参数值。每个运行从不同的随机点开始。此外，在每个步骤中，随机变量进入区分每次运行的模型。蒙特卡洛做这个过程数千次。该过程运行10000个模拟步骤，给出了92个仿真结果的点状图和直方图。

图2 、和仿真结果点状图

图3 、和仿真结果直方分布图

我们可以得到对参数的95％和99％置信区间的模拟结果。分别列于表2和表3：

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