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一种梯度线圈的流函数法

摘要—— 提出一种新的制造在磁场环境影响梯度线圈结构的设计方法。理论公式包含了一个约束消耗函数，其存在空间中特定区域中的理想场和一个接近任意定义表面之间，该曲面基于比奥，撒法尔定律积分方程。适当的权值函数与线性函数相结合，允许将问题公式转化为线性矩阵方程，该方程的解在指定线圈表面以大小和方向表示离散电流元器件。数值预测和对x，y梯度线圈实际测量的比较强调了该方法的成功，在实现高线性的同时包括了低寄生场和低电感。

【关键词】梯度线圈；目标区域方法；流函数方法；磁场共振；约束优化；局部均匀场梯度

介绍

近20年来，各种磁共振梯度线圈结构的理论设计方法得到了发展。班格特和曼斯菲尔德(1)的这篇文章是关于这个问题最早的文章之一。作者设计了一个公式，实现了高梯度场，同时提供低线圈电感。特别是，他们提出了一些关于如何建立梯度线圈的想法。例如，四根定位适当的无限大导线已经构成了一个基本的梯度线圈。然而，无限线只能粗略地近似一个真实的线圈，该方法需要用返回路径进行扩展。

Turner(2)综述了几种常用的方法，本文提出了一些通用的梯度线圈设计方法，以及矩阵反演法、流函数法、各种目标场法等计算分析方法(3-5)。特别是目标场方法，由于其在确定合适的线型方面的计算简便而得到了广泛的关注。例如，Turner(6)可以在圆柱形梯度线圈内的圆柱面上指定所需(或目标)磁场。接下来，他计算了梯度线圈表面的电流分布，以实现目标磁场。在Turner(7)的另一项研究中，他考虑了一个圆柱形线圈，并用线圈上的电流分布来表示其电感。他能够根据磁通量密度和感兴趣区域(ROI)的期望场分布最小化电感。

另一个与梯度线圈设计相关的靶场法的成功应用是Liu (8) 线圈，它与总电感成正比。在傅立叶级数中展开表面电流后，Liu能够确定级数系数的最优值，这些系数在磁场等于期望分布的情况下使磁场能量最小化。

在另一篇文章中，Green等人尝试了一种类似Liu(的单层梯度线圈设计方法。具体地说，它们最小化了功率、电感和实际场与期望场之间的平方差的加权组合。同样，把电流表示成傅里叶级数，他们成功地找到了使代价函数最小化的最优系数。

Leggett等(10)研究了多层横向圆柱梯度线圈。它们也依赖于电流的傅里叶级数展开。然而，莱格特随后设计了一个成本函数，它是电感和功率损耗的加权组合，条件是磁场在指定的点上等于某个值。

Cho和Yi(11)的研究是最早致力于表面梯度线圈显式设计的研究之一。作者利用对称的概念，为三个表面梯度线圈(Gx, Gy, Gz)设计布局。这项工作提供了一个直观的想法，如何线圈将出现和磁场的预期行为。然而，详细的数值模拟工作证明，这些线圈的设计远远不是最优的。在他的论文中，Shi(12)使用了许多优化技术来为所有三个线圈产生一个改进的线布局。他证明了磁场梯度均匀性可以显著提高。Shi和Ludwig(13)对Cho和Yi设计的三个梯度线圈进行了全面的数值分析(11)。

尽管这些方法在某些条件下取得了明显的成功，但它们都有一个共同的缺点:它们只适用于特定的线圈几何形状，如圆柱表面或单平面和双平面。基于有限的几何柔度的线圈设计不能产生尽可能高的场线性。

在本文报道的研究中，我们描述了一种新的线圈设计方法，它在很大程度上独立于载流表面的形状。这种灵活的设计是通过将表面离散成三角形的单元块，然后在每个单元中定义一个电流公式来实现的。我们通过几个线圈几何形状的设计过程证明了这种方法的成功。特别地，我们展示了无力矩高性能梯度线圈构造简单灵活。

图1梯度线圈系统的概念布置

THEORY

一般来说，MR仪器中的梯度线圈系统需要三个线圈，分别是Gx、Gy和Gz。每个系统可以由两个子集组成:一次线圈和二次线圈。主线圈的作用是在其内部区域内建立梯度场;二次线圈的作用是抑制梯度系统外部的磁场。此外，这些线圈中的每一个都可以由一个或多个在空间中定位的载流面来实现。这种一般的安排如图1所示。

为了发展我们的理论概念，这里不考虑二次线圈。我们定义了一个表面，它建立了一个表面电流分布为J(r)的梯度场。通常，线圈平面可以由几个互不相连的离散表面组成。由两个表面组成的结构的一个例子是图2所示的双平面梯度线圈;它还显示了内部ROI。

我们的目标是找到一个最优的电流分布，从而在ROI中得到一个理想的磁场，如图2所示。此外，线圈的磁能必须很低，以减少总电感，并且线圈的每个部分都可以设置为无扭矩。此外，由于主要关心的是磁场的梯度，因此必须优化偏置或偏置磁场。造成这种偏差的原因如下:对于某些线圈几何形状，如果在ROI中心的磁场不为零，我们可以获得更好的性能。这种所谓的偏置场优化在单平面情况下尤为重要

图2几何面源构型J(r)，构成一个双平面梯度线圈

Gy梯度线圈，通常具有偏置磁场。根据这些要求，我们引入了一个成本函数，其中包含三个术语:

其中，W(r)为权重函数，Bdes,z(r)为期望磁场的z分量，Boff,z为偏置(偏置)磁场。Wmagn为电流的磁能，为磁能权系数。最后，Mpx, Mpy，和Mpz是扭矩矢量Mp的分量，它是关于一个不动点计算的，在我们的例子中是原点。

从式[1]可以看出，代价函数首先是对期望场的平方偏差的加权和。此外，还引入了磁能量项和拉格朗日乘数，以保证电感最小，梯度线圈的每一部分都是无力矩的。值得注意的是，扭矩矢量的拉格朗日系数的引入是可选的。这是因为对于某些线圈几何形状，M的某些(或所有)分量可能等于零。在式[1]中，磁能的显式表达式为

此外，扭矩M的表达式可以转换为这种形式

其中B0(r)为外磁场。通常，B0(r)沿z轴方向，这使得式([3])简化为

此处 B0(r) 是延申的磁场区域。通常B0(r）沿着z轴用来简化E（q）的.

其中x、y、z为径向矢量r的分量。在目前的公式中，扭矩矢量M仅用于保持无扭矩梯度线圈(不存在净扭矩)。矢量M不能直接用于确定成卷机内部的应力分布;这需要进行结构分析。

在稳态条件下，电流满足电荷守恒方程

我们的目标是开发一种有效的计算方法来确定最小化成本函数的当前分布J(r)。

方法

为了解决这个问题，可以考虑将任意曲面离散成三角形。为了简单起见，我们考虑一个如图3所示的平面。这个表面可以，或完全或部分，适应梯度线圈的安排。我们注意到这个曲面有一个外边界和一个内边界。

我们任意选择曲面的一边为正，并定义垂直于这个曲面的单位长度向量n(r)。接下来，我们定义驻留在这个表面上的流函数(r)。因此,

图3渐变线圈的三角曲面示例

表面电流密度J(r)与法向n(r)相切，或

我们用线性(或hat)基函数n(r)来近似流函数(r)。流函数是未知系数的基函数的组合，其中:

其中N是曲面上的节点总数。将式[7]代入[6]得到

函数fn(r)可表示为:从所有的表面节点中，我们可以选取两个节点(节点1和节点2)，如图4所示。

电流单元包括所选非边界节点的所有相邻三角形斑块[图5(A)]。开发了一种算法，确保所有电流元件都以相同的方式(顺时针或逆时针)具有流向。

在每个相邻三角形中引入向量e(对边)和d(最小距离向量)

图4计算表面上当前元素的两个节点

图5 (a)电流元素和基函数fn(r);(b)与所选节点相关联的三角形之一

垂直于e[见图5(b)]。数学上，则当前基函数fn(r)的表达式为

其中，Nn为特定当前元素的三角形数，ni为节点n的第i个三角形。为了简化符号，我们将Eq.[9]重写为:

其中vni eni/(eni dni)。显然，fn(r)的散度为零，通过包含所选节点的边的通量为单位。

线性方程组

利用Eq.[8]，我们可以近似得到磁矢量势A(r)为:

则磁通量密度为

如果我们只考虑磁通量密度的z分量，可以看出

以简化后来的符号 ，我们引入

在一个线性扩张领域

接下来，我们定义磁能如下

第m和第n个元素之间的互感可以用下面的电感表达式来表示

由于对称性和无滞后效应，我们有Lmn Lnm。因此,

扭矩矢量的分量在下面的表格中说明

将上述所有表达式组合起来，该函数采用最终形式

简化为;

基于公式22我们可以得到：

我们沿着三个方向依次代入：

可以得到：

图6三角形mi和nj中电流的相互作用。边界只产生一个未知数，因为它们的流函数是相同的。

其中Ami为对应三角形patch的面积。Eq.[35]中采用的符号最好参考图6中任意放置在空间中的两个独立的patch。

对于mi nj[35]中的二重积分可以用封闭形式计算(14); 由

1 6 ln (a b a b b c)(b ac)(b ac)(a b a b b c

其中a =(r3-r1)* (r3-r1)* b (r3-r1)

=(r3-r2)c=(r3-r2)*(r3-r2) r1，r2，r3是指向三角形三个节点的向量。

电流离散化

Eq.[34]的解得到线圈表面的连续电流密度分布。下一步我们必须找到一种方法，通过一组载流线圈来近似连续电流流。这可以通过以下算法实现:将流函数的范围(从最小到最大)细分为一定数量的区间Nlevel。假设m在第m个区间的中间，我们有一个流函数1，hellip;，Nlevel的离散层集。

在我们的程序中，我们使用(a)流函数的电平数，(b)线规，和(c)所需的线圈电阻作为输入。根据给定的层数，程序可以确定表面上所有凹槽的长度。根据线圈的电阻和导线的尺寸，我们接下来计算导线的总长度。将导线长度除以所有槽的长度，最后确定每个槽中的导线环数。有一些必须考虑的权衡。流函数的大量级别会导致不必要的复杂设计。

资料编号：[5057]