1. 研究目的与意义（文献综述）

函数单调性概念是微积分乃至整个数学基础理论中最重要的概念之一，函数单调性的概念与函数的概念密不可分，对于函数而言，它既是数学研究的对象之一，又是解决很多数学问题的基本思想方法。早在16、17世纪，生产和科学技术的发展要求数学不仅研究静止不动的量，而且要研究运动过程中各个量之间的依赖关系，从而促进数学由常量数学时期进入到变量数学时期。函数也就成为研究变量数学必不可少的概念，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。

1.函数概念的发展历史

1.1早期函数概念——几何观念下的函数；1673年前后笛卡尔在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。

2. 研究的基本内容与方案

基本内容：分别从经典函数定义和现代函数定义出发分析二元函数以及多元函数单调性的意义，从而提出其单调性的定义，应用定义解决一些微积分中的数学问题，以及在二元函数优化中提出一些基于给定二元函数单调性的计算方法。

目标：（1）分别分析二元函数定义域--平面点集和值域--实数域的序结构，从而提出二元函数单调性的概念；（2）对于二元不等式，应用给出的二元函数单调性的定义重新解决并证明它；（3）对于给定二元函数求极值，应用给出的二元函数单调性的定义求极值；（4）给出一个二元函数优化问题中的计算方法。

拟采用的技术方案及措施：从集合论中序的概念出发，首先研究平面点集上的序，主要集中在平面上的点是否构成全序集以及如何规定平面点集上的序关系，这两个问题主要借助于朴素集合论里面的定义定理，其次探究二元函数定义域和值域之间的单调性如何定义恰当，并且给出二元函数单调性的定义，对于可微的二元函数而言，尝试找出所定义的二元函数的单调性与二元函数偏导数的关系，作为应用找出微积分中几个著名的二元不等式应用二元函数单调性对其进行证明，找出几个二元函数求其最值，并且对二元优化问题给出一个基于二元函数单调性的优化算法。

3. 研究计划与安排

1-3周：查阅文献，完成开题报告
4-6周：总体设计，完成论文综述
7-10周：设计算法，功能模块设计
11-13周：编码和测试
14-15周：写论文，提交初稿，给老师检查，修改定稿，答辩。

4. 参考文献（12篇以上）

[1]华东师范大学数学系.数学分析[m] 第四版.北京.高等教育出版社.

[2]王敏芝.关于多元函数的极值的判别准则[j].浙江理工大学学报,2007(5): 592-596.

[3]陈朝晖.二元函数凹凸性的判别法及最值探讨[j].高师理科学刊. 2010,30(5):25-28.