全文总字数：2996字

1. 研究目的与意义及国内外研究现状

目的：为了解决一类含有不变直线的四次多项式的扰动分支问题；

意义：研究了当扰动含有不变直线的四次多项式系统问题时，所产生的极限环个数问题，该研究补充了微分系统扰动分支问题方向上的研究；

国内外研究现状

众所周知，hilbert第16问题的后半部分是非常困难的问题，即便是arnold给出的弱化形式也只解决了一些特殊情况。近年来，含扰动项的平面多项式系统的庞加莱分支问题就受到不少学者的重视，不少学者研究了系统中f(x,y)取值不同情况下，由中心周期环域分支出极限环的个数问题。除此之外，具有不变直线的可积非hamilton系统的极限环分支问题，一类三次微分系统的分段光滑扰动分支问题等也得到了进一步地探讨。近年来不断有学者从新的不同角度出发，尝试用不同的方法来探讨系统所含的极限环的个数问题。

2. 研究的基本内容

本文以含扰动项的平面微分系统为主要研究对象，研究F（x，y）取某一具体表达时,其极限环的个数问题。当扰动系数为0时，该系统含有两条不变直线x=1，且在原点处有一个中点。在围绕原点的一簇闭轨簇内，该系统拓扑等价于近Halmiton系统，观察到其有左右两子系统，从而可利用首次Melnikov函数方法，转化为求解两个曲线积分即可。

3. 实施方案、进度安排及预期效果

• 实施方案

1)通过和导师沟通，首先确定下来所研究的方向和待解决的问题；

2)深入了解和学习中心周期环域分支出极限环的个数问题共有４种解决方法：第一种是poincare 回归映射法，第二种是melnikov法，第三种是可逆积分因子法，第四种是平均法；

3)根据所研究系统的特征，确定使用哪种方法并找到该解决方法下的计算突破口；

4. 参考文献

[1]g. chang, m. han, bifurcation of limit cycles byperturbing a periodic annulus with multiple critical points, internat. j.bifur. chaos 23 (2013) 350143 (14 pages).

[2]b. coll, j. llibre, r. prohens, limit cyclesbifurcating from a perturbed quartic center, chaos solitons fractals 44 (2011)317–334.

[3]l. cruz, j. torregrosa, simultaneous bifurcationof limit cycles from a cubic piecewise center with two period annuli, j.math.anal. appl. 461 (2018) 248–272.