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1. 研究目的与意义及国内外研究现状

函数的凹凸性在数学中应用广泛，无论在初等数学，还是高等数学，处处都可见它的身影。

有时候，我们面对一个陌生的不等式，无从下手，可以尝试用函数的凹凸性来解决问题，熟悉函数的凹凸性的相关知识，进而能够熟知凹凸函数的定义和判别，了解jensen不等式及相关不等式，熟练地解决具体问题，这就是我选题的目的。

从数学学科角度来看，在高考和研究生考试中，都会有一些题目涉及到函数的凹凸性，由此，我们可以知道研究函数凹凸性是有其实用价值的。

2. 研究的基本内容

在本文，通过对众多参考文献的研究，首先阐述了函数凹凸性的定义以及证明了它们之间的等价性，画出了凹凸函数在一般情形下的图像，其次提出并证明了几种函数凹凸性的判别方法，我们可以运用函数的一阶导数，二阶导数还有取特值的方法来证明相关不等式。接着我们可以证明jensen不等式以及其他相关不等式。最后应用以上不等式来证明具体不等式。

通过对凹凸函数的研究，最终目的在于了解凹凸函数的定义以及等价性，熟知jensen不等式以及由它推导出的一系列不等式，熟练地解决不等式的证明，了解凹凸函数的实用价值。

3. 实施方案、进度安排及预期效果

实施方案：通过对各个文献的研究，例如：在文献[1]中给出了jensen不等式的证明，在文献[2]中介绍了凹凸函数的各种定义，在文献[3]，[4]中介绍了几种凹凸函数在不等式证明中的应用，和导师交流，讨论格式，内容要求，对不正确，不符合要求的内容进行修改。

进度安排：2.1左右搜集资料，思考论文大概。

2.15开始写论文。

4. 参考文献

1. 高俊宇.函数凹凸性在证不等式中的应用[j].沧州师范专科学校学报，2003.

2. 华东师范大学数学系.数学分析[m].北京：高等教育出版社，1998.

3. 胡小平，胡雪葳.凹凸函数的性质在不等式证明中的应用[j].绵阳师范学院学报，2009.