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摘 要

肺结核是一种由结核杆菌感染所引起的慢性传染病，千百年来，给人类的身体健康带来了严重的威胁。肺结核主要通过空气传播，活动性肺结核患者咳嗽、打喷嚏或者吐痰时，病菌可以经过鼻腔或口腔喷出，将带有结核病病菌的细小颗粒散播到空气中，这些带有病菌的颗粒在适当的条件下可以在空气中存在很长时间，普通的易感者有时只需要吸入少量的结核杆菌就可能被感染。因此，本文研究了环境污染对肺结核的传播的影响，具有十分重要的现实意义。

在第一章中，介绍了结核病的背景、传播方式以及本领域国内外的研究现状。

在第二章中，介绍了本文涉及到的几个基本概念及定理。

在第三章中，建立了一类考虑环境污染（人可能会因为吸入空气中的结核杆菌而感染）的肺结核动力学模型。求得了肺结核能否消亡的阈值，并利用Hurwitz判据和Lyapunov函数得到了无病平衡点的全局渐近稳定性和地方病平衡点局部渐近稳定性。最后，通过数值模拟验证了本文所得的理论成果。

关键词：肺结核；环境污染；基本再生数；平衡点；稳定性

Study on a Kind of Pulmonary Tuberculosis Dynamic Model

Abstract

Tuberculosis which influenced by mycobacterium tuberculosis is a chronic infectious disease . For thousands of years, it has brought a serious menace for the health of human . Tuberculosis is mainly transmitted by air. When patients with active tuberculosis cough, sneeze or spit, the germs can be sprayed through the nasal cavity or mouth, spreading fine particles with tuberculosis bacteria into the air. Sometimes it can exist in the air for a long time, ordinary susceptible people sometimes only need to inhale a small amount of mycobacterium tuberculosis may be infected. Hence, the paper studies the impact of environmental pollution on the diffuseness of tuberculosis, which has a very significant practical meaning.

Chapter 1 introduces the backdrop, mode of transmission and the current research status of tuberculosis in the field at home and abroad.

Chapter 2 recommends several fundamental concepts and theorems involved in this article.

Chapter 3 establishes a dynamic model of pulmonary tuberculosis that considers environmental pollution (people may be infected by inhalation of mycobacterium tuberculosis in the external environment). We obtain the threshold of whether tuberculosis could die. By using Hurwitz criterion and Lyapunov function , we gain that the disease-free equilibrium point will be globally asymptotically stable and the endemic disease equilibrium point will be locally asymptotically stable. Finally, the theoretical results obtained in this paper are proved by numerical simulation.

Key words: Tuberculosis; Environmental pollution; Basic reproductive number; Equilibrium; Stability

目录

第一章 前言 1

1.1 研究背景及意义 1

1.2 国内外研究现状 1

1.3 本文将做的工作 4

第二章 预备知识 5

2.1传染病动力学中的几个基本概念 5

2.2微分方程的基本概念及定理 6

第三章 考虑环境污染的肺结核动力学模型研究 8

3.1模型的建立 8

3.2模型的分析 9

3.3数值模拟 16

第四章 总结与展望 19

参考文献 21

致 谢 23

第一章 前言

1.1 研究背景及意义

结核病,一种由结核分枝杆菌感染所引起的慢性传染病，千百年来，给人类的身体健康带来了严重的危害和威胁。如果得不到及时有效的医治，那么其呼吸系统将受到严重的损伤，影响其正常生活，严重者甚至危及生命。人体的所有部位都可以被结核分枝杆菌感染，结核病比例最高的是肺部结核，所占比例超过九成，肠道结核次之。患者大多是吸入被污染的空气而感染肺结核，活动性肺结核患者咳嗽、打喷嚏或吐痰时，会将带有结核病病菌的细小颗粒散播到空气中，这些颗粒可以在空气中存在相当长的时间，有时只需要吸入少量的结核杆菌就可能被感染。此外，胎儿也能通过母亲的皮肤、消化道和泌尿生殖系统感染肺结核。结核病的传染受空气中结核杆菌的分布密度及室内的空气流通情况的影响程度非常大。假如活动性肺结核病人在商场、餐厅或家庭等这些人员密度较大，空气条件相对不畅通的环境中进行活动，附近的人非常容易吸入结核杆菌进而感染肺结核病。在一般的情况下，一个健康的人被结核杆菌感染后，不一定会立刻引发结核病，也不会立刻表现出相应的症状，发病与否主要取决于人的自身抵抗力的高低以及结核杆菌毒性的强弱。人的抵抗力越弱，结核杆菌的毒性越强，则越容易引发结核病。

虽然我国已经加大力度对结核病的防控和治疗工作，也取得了十分不错的成效，但是我国目前的结核病的疫情仍然不容乐观。我国有着世界上最多的人口，人口流动性大，国民收入不均衡，是世界肺结核疫情最严重的国家之一。我国肺结核患者数高居全球第二，仅次于邻国印度。根据中国疾控中心官网公布的统计数据，2018年我国肺结核发病人数为823342人，病亡3149人。2019年我国肺结核发病人数为775764人，病亡2990人。因此，我国肺结核的防控和治疗工作仍然还有很长的路要走。

1.2 国内外研究现状

早在18世纪，Daniel Bernoulli^[1]在研究接种牛痘对天花的预防作用时，就使用到了数学模型,但对于确定性传染病模型的研究却直到20世纪才开始。Kermack与Mckendrick^[2]在1927年提出了著名的三仓室SIR传染病模型为本领域的研究开辟了道路，他们针对流行病传播特征将某地区的总人口分为几类，每一类为一个仓室。在研究英国黑死病(1665-1666)以及泰国瘟疫(1906)的传播规律时，他们把总人口分为三个仓室^[2]：易感类,染病类和移出类，t时刻数量分别记为S(t)、I(t)、R(t)，作者建立的模型如下：

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