论文总字数：17165字

摘 要

双端队列在生活中很常见，譬如在出租车站点（如机场），出租车与乘客通常会在两端分别排队，通过对乘客与出租车之间的匹配关系进行研究，不仅能够提升机场的疏通效率，而且能够提高出租车运营公司的利润。因而本文针对这个题目进行了探讨。为了处理的方便，传统中研究双端队列常会假设出租车与顾客的匹配时间为零。但在本课题中，为了更贴合实际，我们假设匹配时间为一指数型随机变量，同时根据实际现象考虑乘客的排队意愿将会因为队长增长而降低这一现实情况，从而假定系统队长达到一定的阈值后进入率降低。根据模型的特点，建立二维连续时间马尔科夫链，刻画此系统的演变过程，并画出相应的系统状态转移图，然后借助矩阵几何解的方法对该马尔科夫链进行稳态概率分析，进而我们可以获得这个队列模型的一系列性能参数，例如平均队长、乘客平均等待时间等，从而对乘客的需求进行精准预判，达到对等候车辆数目的调动管理的效果，使乘客与出租汽车两方的收益达到最大值。

关键词：双端队列系统；阈值；马尔科夫链；矩阵几何解

Taxi-passenger double-ended queue model with customers adopting threshold entry strategy

Abstract

Double-ended queues are very common in life. For example, at a taxi station (such as an airport), taxis and passengers usually line up at both ends. Through studying the process of matching passengers witch taxis, it can not only improve the efficiency of airport evacuation ,but also increase the profits of taxi operating companies. Therefore, this article discusses this subject. For the convenience of processing, traditional research on double-ended queues often assumes that the matching time between taxis and customers is zero. However, in this topic, in order to be more realistic, we assume that the matching time is an exponential random variable. At the same time we assume that the entry rate of the system will decrease when the queue length exceeds a certain threshold due to the fact that the passengers' willingness to queue up will reduce when the queue is too long. Due to the features of the model, we construct a two-dimensional continuous-time Markov chain based on the model characteristics. After mapping out the evolution of this system, we draw the associated system state transition diagram. Finally, we use the matrix geometric solution method to analyze the steady-state probability of the Markov chain. Then we can obtain a series of performance parameters of this queue model, such as average queue length and the average waiting time of passengers, so as to accurately predict the needs of passengers, and improve the effect of the management of the number of waiting vehicles. Finally, the benefit of both passengers and taxis can be improved.

Key word: Double-ended queue system; threshold; Markov chain; Matrix geometric solution

目 录

摘 要 II

ABSTRACT III

第一章 绪论 5

1.1本文研究背景 5

1.2研究意义 6

1.3研究现状 7

1.4研究内容 8

第二章 排队论相关概念 9

2.1排队系统中的基本概念 9

2.2拟生灭过程及马尔科夫链 9

2.3矩阵几何解 11

第三章 模型阐述 13

3.1模型简介 13

第四章 稳态分析 15

4.1系统的稳态条件 15

4.2系统稳定的充分必要条件 17

4.3系统稳态概率计算 18

4.4模型中的相关性能指标 19

第五章 总结与展望 21

5.1总结 21

5.2展望 21

参考文献 22

致谢 23

第一章 绪论

1.1本文研究背景

在日常生活和各行业的生产实践中，由于资源的有限性和需求的随机性，顾客（或者需求）不能总是立刻得到服务（或者响应）就会导致排队等待的现象出现，例如去超市买东西、到车站排队买车票、在餐厅门口排队等候用餐、公交车站排队等候上车、游乐场排队等，这些场景都是在我们每天的生活当中能够轻易遇到的。当然，也有一些排队现象不那么明显，例如在计算机通讯中，中央处理器工作繁忙时，过多数据的出现就会在处理的过程中出现排队现象。从以上所举的例子当中我们可以很容易的发现，排队现象在我们日常生活当中是很普遍的，通常具有两个特点：一是服务系统只能提供有限的服务资源，二是服务要求具有随机属性。

因此针对排队系统（queueing system）进行研究有着极其重要的意义，从而衍生出了排队论（queueing theory）这门学科。这门课程的研究内容主要为了分析并解决排队问题，属于应用概率统计与运筹学的范畴。这门课程最先是在20世纪由科学家Erlang在针对话务理论进行研究的过程当中发展出来的。排队论的最初的出现与通讯网络中存在的一些难题有着密切的关系。之后，应用范围扩展到了交通运输部门以及计算机系统领域中。其机理是通过对服务对象的到达的时间和服务的时间来分析并且量化目标的统计信息，例如平均队长、平均等待时间、客户的队列长度等，然后改善服务系统，并使服务系统能够更好的满足用户的服务需求。在现代生活中，排队论有着非常广泛的应用领域，应用最多的领域是通讯、交通、存贮系统、生产与管理系统等领域。

实际生活中排队论所要研究的问题有很多，但是可以简单地分为三个类别，分别是性能分析问题、统计问题、优化问题。随机服务系统的性能分析主要指一位客人在接受服务之前需要等待的时间的分布，在排队系统中逗留的时间分布，系统中顾客人数的分布等。统计问题是指根据现实状况，先获取数据，然后根据数据分析并推断出系统参数，也可以根据数据对某个估值进行检测。优化问题一方面是指通过更改系统中的参数，并依靠理论知识来分析性能指标的变化，进而实现优化系统参数的效果。另一方面指，在引入适当的效用函数之后，通过理论分析构造相对应的优化问题，并通过对于优化问题的求解反过来优化系统参数。

1.2研究意义

针对排队论的研究对于我们当下的生活有着特别重要的意义，例如，当我们在超市收银处排队时，如果出现收银员人数较少，但是购买东西的顾客人数较多的状况时，顾客需要在收银处排队等候，因此会浪费一些时间，进而降低了顾客的购物体验，长期而往必然造成客源流失，导致经济损失。为了改善这一问题，许多学者对其进行了研究，研究的结果主要分为两个大方向，第一种是优化设计排队系统，第二种为优化管理排队系统。

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