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1. 研究目的与意义及国内外研究现状

不等式作为数学领域的一个重要板块，在数学的各个分支的理论研究和证明中起着十分重要的作用。当前，对于不等式的研究取得了大量的成果，许多结果往往囿于所研究的问题而无法获得广泛的应用。本文拟选取几类重要的不等式加以深入研究，对已有结果进行推广，并应用所得结果研究一些具体的数学问题。

国内外研究现状

数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起, 东欧国家有一个较大的研究群体, 特别是原南斯拉夫国家。目前,对不等式理论感兴趣的数学工作者遍布世界各个国家。在数学不等式理论发展史上有两个具有分水岭意义的事件,分别是: Chebycheff 在 1882 年发表的论文和 1928 年Hardy任伦敦数学会主席届满时的演讲;Hardy,Littlewood和 Plya的著作 Inequalities的前言中对不等式的哲学 (philosophy) 给出了有见地的见解: 一般来讲初等的不等式应该有初等的证明, 证明应该是“内在的”,而且应该给出等号成立的证明。A. M.Fink认为, 人们应该尽量陈述和证明不能推广的不等式. Hardy认为, 基本的不等式是初等的.自从著名数学家 G. H. Hardy,J. E. Littlewood和G. Plya的著作 Inequalities由Cambridge University Press于1934年出版以来, 数学不等式理论及其应用的研究正式粉墨登场, 成为一门新兴的数学学科, 从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合, 它已发展成为一套系统的科学理论。20 世纪 70 年代以来 , 国际上每四年在德国召开一次一般不等式 ( General Inequalities) 国际学术会议 , 并出版专门的会议论文集。不等式理论也是 2000 年在意大利召开的第三届世界非线性分析学家大会 (“The ThirdWorld Congress of Nonlinear Analyst s” ( WCNA - 2000) )的主题之一。2000 年和 2001 年在韩国召开的第六届和第七届非线性泛函分析和应用国际会议 ( InternationalConference on Nonlinear Functional Analysis andApplications) 与 2000 年在我国大连理工大学召开的ISAAC都将数学不等式理论作为主要的议题安排在会议日程之中。2001 年的不等式国际会议 IN EQUAL IT IES于 2001 年 7 月 9 日至 14 日在罗马尼亚 University of t heWest 召开。历史上 , 华人数学家在不等式领域做出过重要贡献 ,包括华罗庚、樊畿、林东坡、徐利治、王忠烈、王兴华等老一代数学家。最近几年我国有许多数学工作者始终活跃在国际数学不等式理论及其应用的领域 , 他们在相关方面做出了独特的贡献 , 引起国内外同行的注意和重视。例如王挽澜教授、石焕南教授、杨必成教授、高明哲教授、张晗方教授、杨国胜教授等。20世纪80年代以来在中国大地上出现了持续高涨的不等式研究热潮。 20世纪80年代杨路等教授对几何不等式研究的一系列开创性工作，将我国几何不等式的研究推向高潮;在代数不等式方面，王挽澜教授对Fan ky不等式的深人研究达到国际领先水平。祁锋教授及其所领导的研究群体在平均不等式及其他不等式方面取得了大量而系统的前沿研究成果;对分析不等式，胡克教授于1981年发表在《中国科学》上的论文《一个不等式及其若干应用》[5]，针对Holder不等式的缺陷提出一个全新的不等式，被美国数学评论称之为'一个杰出的非凡的新的不等式'，现在称之为胡克(HK)不等式。胡克教授对这个不等式及其应用作了系统而深刻的研究。 目前我国关于数学不等式理论及其应用的研究也有较丰富的成果。例如匡继昌先生的专著《常用不等式》一书由于供不应求 , 在短短的几年内已经出版了第二版 ,重印过多次。对于数学专著来讲 , 这是少有的现象。第二本较有影响的专著是王松桂和贾忠贞合著的《矩阵论中不等式》。另外 , 国内还有一个不等式研究小组比较活跃 , 主办一个《不等式研究通讯》的内部交流刊物 , 数学家杨路先生任顾问。

2. 研究的基本内容

首先对gronwall不等式和切比雪夫不等式进行推广与应用，得到非负变量下的gronwall不等式以及函数矩阵范数的gronwall不等式，并将他们应用到常微分方程中去。

对切比雪夫不等式，对他进行推广，从而得到其他形式，并用它来解决一些概率问题，并且可以用来证明大数定理，以及一些其他不等式。

最后研究导数在不等式中的应用。

3. 实施方案、进度安排及预期效果

实施方案：结合已学知识，参考文献，以及在老师的帮助下完成。

进度安排：

2017.01.01-2017.01.31 收集材料，在此基础上确定研究范围，对所研究不等式有全面深入的理解；

4. 参考文献

[1]蒙诗德. 应用微分法证明不等式的若干方法[j]. 高等函授学报(自然科学版),2009,04:56-58.

[2]黄冬梅,王凡彬,蒲自均,田英. 关于不等式证明的若干方法的探究[j]. 内江师范学院学报,2009,s2:249-250.

[3]李惟峰. 数学高考压轴题的解法探究——证明数列不等式的若干方法[j]. 中学数学研究,2007,03:26-29.