偏微分方程作为分析学的分支，可以模拟解释应用科学中的一些物理现象，许多物理现象都可以用偏微分方程来刻画和描述，物理科学，工程技术以及应用科学中出现的偏微分方程在偏微分方程发展史一直占据着最重要的地位。另外，偏微分方程作为发展数学其它分支的一个工具，促进了其他相关数学分支的发展，例如Donldson和Seiberg-Witten在视为微分流形的拓扑学中的大部分工作是建立在偏微分方程理论的基础上。

在分析学的发展过程中，偏微分方程始终处于核心地位，从Cauchy-Riemann方程和Fourier级数开始，调和分析中许多得到发展的重要课题，如广义函数，Sobolev空间，奇异积分算子，拟微分算子，仿微分算子和微局部分析等，都与偏微分方程理论有着密切的联系，科学，技术，工程以及工业总是刺激偏微分方程发展的动力源泉。

Sobolev空间是研究偏微分方程的基础，整数次与分数次Sobolev空间的基本性质与基本原理是偏微分方程学习中不可或缺的一环，如逼近理论，延拓理论，嵌入理论，单位分解论以及Fourier分析理论等等，研究Sobolev空间理论涉及的基本技巧，如局部化，平直化，光滑化和紧支化等，对深入认识偏微分方程是必要的。此外几种主要的二阶方程涉及到的弱解存在性，正则性，极值原理，正则性，Schauder理论，DeGiorgi迭代技巧，Galerkin方法等知识是学习研究偏微分方程的基本。

偏微分方程的研究方向很多，国外有些学者在做广义相对论，爱因斯坦方程，非线性波动方程，更偏调和分析，国内也有些学者研究椭圆方程，流体方程组，如Navier-Stokes方程，还有双曲方程，比如不可压欧拉方程等。而Korn不等式在流体力学及弹性力学的偏微分方程理论研究中发挥着重要的作用. Korn不等式在各种不同限制条件下的证明难度大不相同, 另外Korn不等式与经典的J. L. Lions引理、Poincare引理、Saint-Venant引理等等都有非常密切的关系. 本文主要是学习Sobolev空间的相关知识和数学技巧, 追踪Korn不等式的最新进展和相关证明并研究它的相关应用.

2. 研究的基本内容与方案

2.1基本内容

（1）通过对国内外相关文献的调研，了解偏微分方程的发展史、现代偏微分方程的主要研究方法以及一些重要的研究方向。

（2）研究实分析实分析与泛函分析在偏微分方程中的应用，Sobolev空间的基本性质及其基本理论，研究Sobolev空间理论中涉及到的基本技巧，以及时空Sobolev空间的基本性质。

（3）研究经典的J. L. Lions引理、Poincare引理、Saint-Venant引理，以及研究Korn不等式在各种不同限制条件下的证明，追踪Korn不等式的最新进展和相关证明和应用。

2.2研究目标

（1）偏微分方程的经典理论和现代方法