摘 要

本文研究了在圆形区域上热方程的能控性。首先，本文通过热方程的基本解得到了为空间上热方程初边值问题的解的积分形式；其次，通过积分形式导出了热方程的格林函数所满足的共轭问题，并且通过分离变量法求解出了二维圆形区域上格林函数的级数表达式；最后，本文用分离变量法求解出了二维圆形区域上热方程的级数形式的解，并由此导出了在限定时间内使得解等于零的控制函数与初值函数的关系。

研究结果表明：热方程的内部能控性需要控制函数与初值函数满足确定的关系；并且对于圆形区域上热方程的第一边值问题存在格林函数，本文则给出了它的形式。

本文的特色：求解出了控制函数与初值函数所满足的关系，并且求解出了二维圆形区域上的热方程的格林函数。

关键词：热方程；精确能控性；格林函数

Abstract

This paper studies the controllability of the heat equation on the disk domain. First, we obtain the integral form of the solution of the initial boundary value problem for heat equation in the n-dimensional space. Secondly, by the integral form, we obtain the conjugate problem about the Green’s function for heat equation, and obtain the series form of the Green’s function over the two-dimensional disk by the separation of variables. Finally, we obtain the solution of the heat equation in the form of series on the two-dimensional disk, and obtain the relationship between the initial function and control function such that the solution vanishes in finite time.

From the research, we conclude that there is a relation between interior control function and initial function. Meanwhile we find the existence of Green’s function of the first initial boundary value problem of the heat equation on the two-dimensional disk and give its formulation.

This paper’s novelty is establishing the relationship between interior control function and initial function on the disk domain, as well as the Green’s function on the two-dimensional disk.

Key Words：heat equation；exactly controllability；Green’s function

目 录

第1章 绪论 1

第2章 理论基础 4

2.1 热方程基础理论 4

2.1.1 热方程的导出 4

2.1.2定解问题的提法 5

2.1.3热方程的初边值问题解的唯一性 6

2.2 热方程的内部能控性 9

2.2.1 解的存在性和唯一性 9

2.2.2 系统的能控性 10

2.3 求解能控性问题的工具和方法 10

2.3.1希尔伯特空间正交系方法 10

2.3.2 广义函数与基本解的概念 12

2.3.3 贝塞尔函数 14

第3章 求解热方程的能控性 17

3.1 热方程解的形式 17

3.2 分离变量法 18

3.3 格林函数 22

第4章 总结与推广 26

4.1 结果 26

4.2 对于结果的推广 26

参考文献 28

致 谢 28

第1章 绪论

在1822年，傅里叶在他的《热的解析理论》一文中最先引进并研究了热方程。热方程是一类特殊的二阶线性偏微分方程，事实上它是抛物型方程这一类中最简单的代表。热方程可以表示为：

其中是关于自变量,的函数，而是一个已知的函数。热传导方程在偏微分方程理论中有重要的地位：在热传导理论、扩散理论以及物理学的其他分支中都会遇到要处理热传导方程的情况，在概率论中它也起着重要的作用。而且在社会生产实践中热方程也有着广泛的运用，因此研究热方程及其解的性质就有着独特而且重要的意义。

另一方面，20世纪40年代数学家罗伯特·维纳发表的《控制论：关于在动物和机器中控制和通讯的科学》一文，被视为控制论建立的标志，时至今日控制论已经成为技术与实践科学的一门基础理论学科。而在20世纪60年代，贝尔曼提出的动态规划原理、庞特里亚金的最大值原理理论和线性系统一般理论这三个里程碑式的理论的提出标志着现代控制理论的诞生。此后数十年间，卡尔曼针对有限维的系统建立了能控性理论，它与能观性理论和最佳调节器理论构成了当时现代控制理论的基本内容。之后又有许多学者将这一理论推广到了非线性系统。彼时直至今日，已经形成了以有限维系统的控制理论，分布参数系统的控制理论和随机系统控制理论为主要部分的数学控制论。数学控制论在现代社会中已经被广泛应用于生物，医学，环境等生活领域中，数学控制论不仅极大地提高了社会劳动生产率，改善了人们的劳动条件，还提高了人们的生活水平^[1][2]。

1960年，卡尔曼首先就时间发展系统提出了能控性概念。在不断地社会生产实践中，人们渐渐地将这个概念推广到了其他领域中，时至今日，这个概念在现代控制理论中已经具有了十分重要的地位。基于这个概念，我们可以依靠相关的条件而对相应的系统从外部进行分析和预测，从而实现对系统的最优控制和最优估计。因此可以毫不客气的说，能控性概念是最优控制和最优估计的基础。出于对问题的研究和实际的需要，现代控制理论的分析方法是建立在对状态空间进行的描述的基础之上的。状态方程描述了可测量的输入引起的状态的变化规律和变化过程，输出方程则描述了由于状态发生了变化而引起的输出产生的变化规律和过程。能控性理论正是分析对状态的控制能力以及输出对状态的反映能力。

现代控制理论中讨论输入函数对输出函数的控制，二者之间的关系唯一有系统传递函数所确定，只要满足稳定性条件，系统对输出就能控制，而对于输出本身而言，其就是被控制量，对实际问题而言，它是可以被观测到的或者可以被控制的。而控制按照不同的方式相应的有不同的分类，按照控制施加的位置而言，控制可分为边界控制和内部控制；如按等时区域与目标的关系，控制又可分为精确能控性，近似能控性和零能控性^[3]。

能控性概念的一个重要的应用领域是在控制论中的偏微分方程系统，在数学上，我们也把偏微分方程的能控性问题称为偏微分方程的逆问题，因为对于一个偏微分方程，这里表示偏微分算子，为一个满足某些条件的函数(比如)。能控性理论是我们在某些边值条件和初值条件下，研究对于的影响。在数学上就是要我们求出，使得在满足特定的条件，而这，在数学上就称为反问题。

对于不同的偏微分方程和不同的条件，甚至是不同的能控性条件，其能控性研究方法是不同的。在这之中，偏微分方程的精确能控性一直是控制论中的一个经典问题。因为热方程以控制论的观点来看是一个时间动力系统，于是我们可以将能控性概念引入对热方程的研究中来，这样有助于我们对热方程性质的研究。通过将能控性概念结合到偏微分方程理论中，我们研究另一类特殊的限制条件下的热方程的解，我们限制函数的初始状态和终末状态，即给定在时和时的函数状态，并在这种条件下研究方程右端项与方程解之间的关系。因此，本文研究的是热方程在第一边值条件下的精确能控性问题。

上文已经提到，本文研究的是圆形区域上热方程在内部控制下的的精确能控性^[1][4]，也就是研究初值函数与非齐次项的控制函数之间的关系。这不仅需要热方程相关的知识，也需要其他数学领域中的知识。所以，本文的安排如下，本章介绍热方程能控性问题的概念和背景。

第二章介绍研究这个问题所要用到理论基础。我们先介绍热方程的引入和背景，之后再通过极值原理和控制定理来说明热方程初边值问题的解的唯一性，之后再引入能控性的概念，来说明我们要研究的问题的数学表达；然后我们将会介绍希尔伯特空间中的正交基，广义函数和在广义函数意义下的运算和基本解的概念；接下来我们将介绍贝塞尔函数的一些基本性质和表达。

第三章，我们通过热方程上的格林公式，来利用基本解来表达热方程初边值问题的解的形式；之后我们求解出了圆形区域上热方程解的级数表达式，由此，我们通过施加能控性条件就可以得到使得能控性条件被满足的区域上初值函数与控制函数所满足的一系列积分表达式。并说明当初值函数，控制函数与角度无关时，能控性条件可以简化。最后我们根据构造格林函数的思想和方法再结合第一节求出的解的表达式，找到热方程中格林函数所满足的共轭问题，通过在广义函数意义下的分离变量法的理论，我们可以解出圆形区域上的的格林函数的级数表达式并且我们证明了其在广义函数意义下的收敛性。

第2章 理论基础

2.1 热方程基础理论

我们先对记号做一些规定。当时

其中，为中的有界开集。

2.1.1 热方程的导出

考察空间某物体的热传导问题。以函数表示物体在位置及时刻处的温度。根据热力学中的傅里叶实验定律，物体在无穷下时段内沿着法线方向流过一个无穷小面积的热量与物体温度沿曲面法线方向的方向导数成正比，即

其中称为物体在点的热传导系数，其为正值。

在物体内任取一封闭曲面，它所包围的区域记为，那么由上式，从时刻到时刻流入此封闭曲面的全部热量为

这里表示沿着上单位外法线方向n的方向导数。

流入的热量使物体内部温度发生变化，在时间间隔中物体温度从变化到，它所应该吸收的热量是

其中，分别为比热和密度。因此就成立

假设关于有二阶连续偏导数，关于有一阶连续偏导数，利用格林公式，可以把上式化为

交换积分次序就得到

由于，，的任意性，我们就得到

该等式称为非均匀的各向同性体的热传导方程，若物体是均匀的，那么这里的都为常数，令,就有

该方程称为齐次热传导方程。

若物体内部还有热源，则在上述的推导之中还需要加入热源的影响，设单位时间内单位体积所产生热量为，则在考虑热平衡时还应该再加上一项

于是相应的热传导方程就改为

其中，。该方程称为非齐次热传导方程。后文中，我们令算子。

2.1.2定解问题的提法

一方面，单单从热方程本身出发，在没有其他限制的情况下，我们可以求出不止一个满足方程的解；另一方面，从物理学角度来看，如果知道了物体在边界上的温度状况或热交换状况和物体初始时刻的温度，就可以完全确定物体在以后任意时刻的温度分布。因此热方程最自然的一个定解问题就是在已给的初始条件条件下求问题的解。

初始条件的提法即

其中为已知函数，其物理意义是物体在初始时刻(0时刻)的温度分布。

现在考察边界条件的提法，如果我们已知边界的温度分布，那么就可以将其用数学方式表达为

其中为物体的边界曲面，为上的已知函数。这种边界条件称为第一类边界条件，又称Dirichlet边界条件^[5]。

如果我们知道的是物体表面上的热传导情况，单位面积上在单位时间内有确定的热量交换，那么根据傅里叶定律

可知，此时边界上温度的法向导数是已知的

为上的已知函数，表示沿着上单位外法线方向n的方向导数。这种边界条件称为第二类边界条件，又称Neumann边界条件^[5]。

2.1.3热方程的初边值问题解的唯一性

定理2.1.(有界区域内的极值原理)设为热方程在有界区域内、属于类的解，令。那么对任意点成立不等式

证明这个定理，只需要证明下面这个引理。

引理2.1.设函数属于且在内满足不等式，那么对于中的任一点都成立

若函数在内满足不等式，那么对于中的任一点都成立

证明：只需证明该引理的上半部分，事实上，若为在内满足的函数，令，我们就能得到，因而就可以利用引理的上半部分得到引理的后一部分。

因为函数在处有界,那么,在内对于充分大的常数有。此外，对于若有成立，令,其中为大于零的常数，显然在内有

函数在不可能取负的极小值，因为在位于内的负的极小值点处同时成立

事实上，当时由极值点为内点时导数的性质就得到了

当，同样有

而因为此时极值点在的边界上，因此就有

综合上面两种情况，就得到了上述结论。

因此，因而产生矛盾。所以函数的负的最小值只能在边界上取到，这说明在中

后者对任意都成立，当时，由这一不等式得到在内有

因为，由此可以推出

又因为

因此就得到

引理证毕。 ⃞

定理2.2.(严格极值原理)如果在柱体内满足方程

且属于，并在点去最大值或最小值，那么在柱体内为常数^[6]。

证明：设且。我们来证明，在内当时有。

假设不成立，设在某一点处，,成立不等式，其中为常数。下面我们证明由这个假设可以推出。用含于的折线连接点与点，折线的顶点为，，…，，，其中，并且令，。

若我们可以证明对于任意的由不等式可以推出，那么我们就可以逐次从过渡到，从而得到矛盾。

我们假设有，与位于直线

上，其中，。令，考虑函数

其中为常数，为常数。我们可以选择足够小的，使得在上的球内成立不等式，其中为常数。常数可以这样选取，使得在由平面，与曲面所界定的区域中成立不等式。实际上有

观察这个等式可以得出，在曲面的某个领域内成立不等式，因为当时，等式(1)中除了最后一项外的其他项都等于零。选取，使得在时在内。如果，即并且常数可以取得足够大，使得等式(2.1)的第一项按模超过其余项模的和。在这种的选取下，当时有。那么考虑函数

易知，所以由定理1.1可知

这里。在上有。选取适当的常数使得在定义域上有。这时有当时有。因此有

所以

由此得到矛盾，定理证毕。 ⃞

定理2.3.设函数在柱体内满足方程,它属于且满足边界条件

或

其中为的外法线方向，那么存在仅与有关的常数,使得对闭区间中的任意成立如下估计：

证明：对于区域与函数，，写出格林公式，我们有

由这个等式推出

对从0积分到，并应用初等不等式，就有

由上面两个不等式得到下面的不等式

和

将上面两式相加就得到了我们欲证的不等式。 ⃞

推论2.1.方程的属于的第一类边值问题与第二类边值问题的解是唯一的。

证明：对于第一类边界问题，假设有两个不同的解，那么两个解的差就满足方程和，。那么由定理1.3可以推出

这说明。所以第一边值问题解是唯一的。

对于第二类边值问题可以仿照上面的步骤得到。 ⃞

由上面三个定理，我们可知热方程的解可以被初值和边界条件控制住，因此我们就证明了热方程初边值问题解的唯一性^[2]。

2.2 热方程的内部能控性

2.2.1 解的存在性和唯一性

令为具有类边界的有界开集，为的非空子集。给定我们考虑下列非齐次的热方程：

在(1)中为状态函数，为作用在上的控制函数。我们的目标是通过施加在上的控制函数来改变此动力系统。

定理2.4.对于任意的和，方程组(1)有唯一的由常数变易法公式

给出的弱解 ，这里为中热算子产生的收缩半群。此外，若且。方程组(1)存在古典解并且方程组(1)在中对所有都满足。

这个定理的证明可以参考[7]。

2.2.2 系统的能控性

令,且对于任意，定义可达集为

由定义，任意中的状态都可以由通过控制得到。

定义2.1.方程称为在时间内是近似能控的，如果对于每一个，可达集与稠密^[7]。

定义2.2.方程称为在时间内是精确能控的，如果对于每一个，可达集与重合^[7]。

定义2.3.方程称为在时间内是非能控的，如果对于每一个，可达集为空集^[7]。

2.3 求解能控性问题的工具和方法

在具体求解热方程能控性问题时，我们使用了广义函数论，希尔伯特空间中的一些方法，还用到了特殊函数来表达我们最后求到的解的形式。本节将介绍求解能控性问题所使用的工具和方法。

2.3.1希尔伯特空间正交系方法

从泛函分析中我们了解到，希尔伯特空间是完备的内积空间，换句话说，希尔伯特空间是完备的欧几里得空间。希尔伯特空间的重要性可以从其正交系在数学各领域中的运用看出来。在我们使用分离变量法时，就用到了希尔伯特空间中的完备正交系的概念。

我们先简单介绍一下欧几里得空间的概念，称线性空间为欧几里得空间，存在一个对于其中的每一对元素，都有定义的实函数，且满足以下条件：

1)，

2)，

3)，

4)且仅当，

则称为欧几里得空间，且为中的内积。容易验证，可以视为上的一个范数，那么欧几里得空间一定为巴拿赫空间，我们就把上的范数定义为。由此，我们引入欧几里得空间的概念，称完备的欧几里得空间为希尔伯特空间。

在欧几里得空间上成立柯西-布尼亚科夫不等式：