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摘 要

在本文中，我们研究以下二阶周期系统：

其中，满足丢番图条件，.根据对φ一些假设,F和p, 通过Moser扭转定理,我们得到拟周期解的存在性和所有解的有界性。

关键词：Diophantine条件 Moser扭转定理 拟周期解 解的有界性

Stability of a class of Hamiltonian systems

Abstract

In this parper we study the fellowing second order periodic system:

where satisfies the Diophantine condition, .Under some assumptions on the ,F , and p,by Moser twist theorem ,we obtain the existence of quasi-periodic-So

lutions and boundedness of all the solutions.

Key words:Diophantine condition;Moser twist theorem;quasi-periodic-Solutions;bou

ndedness of solution

目 录

摘要.....................................................................................................I

ABSTRACT.......................................................................................II

第一章 引言.....................................................................................1

1.1 研究目的及意义...............................................................................................1

1.2 研究相关背景...................................................................................................1

1.3 本文将做的工作...............................................................................................1

第二章 论证过程及结果..................................................................2

2.1 简介和主要结果...............................................................................................2

2.2 定理的证明.......................................................................................................3

2.2.1 作用角变量和引理..............................................................................3

2.2.2 新的作用角变量..................................................................................8

2.2.3 典则变换............................................................................................10

2.2.4 庞加莱映射........................................................................................14

2.2.5 证明定理1.........................................................................................15

参考文献...........................................................................................16

致谢...................................................................................................18

1. 引言

1 研究目的及意义

动力系统是数学的一个重要研究方向，而哈密顿系统则是动力系统研究的一个十分重要的分支。它有很强的应用背景；它的许多问题来源于力学，物理，天文等领域。同时哈密顿系统与微分方程和微分几何等诸多数学分支有密切的联系。因此哈密顿系统的研究不仅有重要的应用价值，对数学本身的发展也有重要的理论意义。以著名的N-体问题为代表，哈密顿系统的Lagrange稳定性及其相关问题历来备受数学家的关注。Dirichlet,Weierstrass,Poincare和Birkhoff等诸多数学大师对此倾注了大量的精力。

关于哈密顿系统方程组的解的稳定性理论。是由A.H.柯尔莫哥洛夫，Β.И.阿尔诺德和J.K.莫泽三人共同建立的(1954、1963)，因而得名。他们严格证明了拟周期解的存在性，即几乎可积系统，有填满不变环的拟周期解存在。这是哈密顿系统，特别是它的定性理论的近代发展中的最重要的成就。

2 研究相关背景

Hamilton系统理论是既经典有现代的研究领域，可以从不同角度进行研究，变分方法便是其中之一，Hamilton系统是具有变分结构的系统，求Hamilton系统的解可以转化为寻找其对应泛函的临界点，真是于此，Hamilton系统研究与最近20多年来飞速发展的大范围变分理论即临界点理论相结合取得了巨大的发展，特别是在应用变分方法寻找Hamilton系统的周期解、 同宿轨道解、 异宿轨道解和其他形式的轨道解方面，取得了很多成果。

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